Номер 17.33, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.33, страница 148.

Условие.

17.33. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{7}$, если $m \geq 0;$

2) $3n\sqrt{6}$, если $n \leq 0;$

3) $p\sqrt{p^3};$

4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \leq 0;$

5) $(3-a)\sqrt{\frac{2}{a^2 - 6a + 9}}$, если $a > 3;$

6) $(b+6)\sqrt{\frac{1}{b+6}};$

7) $(y-4)\sqrt{\frac{1}{12 - 3y}};$

8) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если $a < 0.$

Решение.

1) $m\sqrt{7}$, если $m \ge 0$

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Правило внесения множителя $A$ под знак квадратного корня в выражении $A\sqrt{B}$ зависит от знака $A$:

• Если $A \ge 0$, то $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}$.
• Если $A < 0$, то $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}$.

В данном случае множитель $m \ge 0$. Следовательно, мы можем внести его под корень, возведя в квадрат:
$m\sqrt{7} = \sqrt{m^2 \cdot 7} = \sqrt{7m^2}$
Ответ: $\sqrt{7m^2}$

2) $3n\sqrt{6}$, если $n \le 0$

Множитель, который нужно внести под знак корня, равен $3n$. По условию $n \le 0$. Это означает, что множитель $3n$ также является не-положительным, то есть $3n \le 0$.
Поскольку множитель не-положительный, при внесении его под знак корня перед корнем необходимо поставить знак "минус":
$3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2 \cdot 6}$
Выполним возведение в квадрат и умножение:
$-\sqrt{(3n)^2 \cdot 6} = -\sqrt{9n^2 \cdot 6} = -\sqrt{54n^2}$
Ответ: $-\sqrt{54n^2}$

3) $p\sqrt{p^3}$

Для того чтобы выражение $\sqrt{p^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $p^3 \ge 0$. Это условие выполняется, только если $p \ge 0$.
Следовательно, множитель $p$ является неотрицательным. Вносим его под знак корня, возводя в квадрат:
$p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 \cdot p^3}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$\sqrt{p^2 \cdot p^3} = \sqrt{p^{2+3}} = \sqrt{p^5}$
Ответ: $\sqrt{p^5}$

4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \le 0$

Выражение $\sqrt{x^5y}$ определено, если $x^5y \ge 0$. По условию $y \le 0$. Чтобы произведение $x^5y$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $x^5$ было также неположительным (или равно нулю), то есть $x^5 \le 0$, что означает $x \le 0$.
Теперь определим знак множителя $x^4y$. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 \ge 0$ для любого $x$, а $y \le 0$, то их произведение $x^4y \le 0$.
Так как множитель $x^4y$ является неположительным, при внесении его под корень ставим знак "минус" перед корнем:
$x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2 \cdot x^5y}$
Упростим выражение под корнем:
$-\sqrt{(x^4y)^2 \cdot x^5y} = -\sqrt{x^8y^2 \cdot x^5y} = -\sqrt{x^{8+5}y^{2+1}} = -\sqrt{x^{13}y^3}$
Ответ: $-\sqrt{x^{13}y^3}$

5) $(3-a)\sqrt{\frac{2}{a^2 - 6a + 9}}$, если $a > 3$

Множитель, который нужно внести под корень, равен $(3-a)$. По условию $a > 3$, следовательно, $3-a < 0$. Множитель является отрицательным.
При внесении отрицательного множителя под корень ставим знак "минус" перед корнем:
$(3-a)\sqrt{\frac{2}{a^2 - 6a + 9}} = -\sqrt{(3-a)^2 \cdot \frac{2}{a^2 - 6a + 9}}$
Упростим выражение под корнем. Заметим, что знаменатель $a^2 - 6a + 9$ является полным квадратом: $a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$. Также $(3-a)^2 = (-(a-3))^2 = (a-3)^2$.
Подставим это в выражение:
$-\sqrt{(a-3)^2 \cdot \frac{2}{(a-3)^2}}$
Так как $a > 3$, то $a-3 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a-3)^2$:
$-\sqrt{2}$
Ответ: $-\sqrt{2}$

6) $(b+6)\sqrt{\frac{1}{b+6}}$

Для того чтобы выражение $\sqrt{\frac{1}{b+6}}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть положительным (знаменатель не может быть равен нулю): $\frac{1}{b+6} > 0$. Это выполняется при $b+6 > 0$.
Следовательно, множитель $(b+6)$ является положительным. Вносим его под знак корня, возводя в квадрат:
$(b+6)\sqrt{\frac{1}{b+6}} = \sqrt{(b+6)^2 \cdot \frac{1}{b+6}}$
Сокращаем выражение под корнем на $(b+6)$:
$\sqrt{\frac{(b+6)^2}{b+6}} = \sqrt{b+6}$
Ответ: $\sqrt{b+6}$

7) $(y-4)\sqrt{\frac{1}{12-3y}}$

Область определения выражения задается условием $12-3y > 0$.
$12 > 3y \implies 4 > y$, или $y < 4$.
Определим знак множителя $(y-4)$. Поскольку $y < 4$, то $y-4 < 0$. Множитель отрицательный.
При внесении отрицательного множителя под корень ставим знак "минус" перед корнем:
$(y-4)\sqrt{\frac{1}{12-3y}} = -\sqrt{(y-4)^2 \cdot \frac{1}{12-3y}}$
Упростим выражение под корнем. Преобразуем знаменатель: $12-3y = 3(4-y)$. Также учтем, что $(y-4)^2 = (-(4-y))^2 = (4-y)^2$.
$-\sqrt{(4-y)^2 \cdot \frac{1}{3(4-y)}} = -\sqrt{\frac{(4-y)^2}{3(4-y)}}$
Так как $y < 4$, то $4-y > 0$, и мы можем сократить дробь на $(4-y)$:
$-\sqrt{\frac{4-y}{3}}$
Ответ: $-\sqrt{\frac{4-y}{3}}$

8) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если $a < 0$

Подкоренное выражение $-\frac{a^7}{5b}$ должно быть неотрицательным: $-\frac{a^7}{5b} \ge 0$, что равносильно $\frac{a^7}{5b} \le 0$.
По условию $a < 0$, следовательно $a^7 < 0$. Чтобы дробь была неположительной, знаменатель $5b$ должен быть строго положительным (не равен нулю). $5b > 0 \implies b > 0$.
Теперь определим знак множителя $5ab$. Так как $a < 0$ и $b > 0$, их произведение $ab < 0$, и, соответственно, $5ab < 0$.
Поскольку множитель $5ab$ отрицательный, при внесении его под знак корня ставим "минус" перед корнем:
$5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{(5ab)^2 \cdot \left(-\frac{a^7}{5b}\right)}$
Упростим выражение под корнем:
$-\sqrt{25a^2b^2 \cdot \left(-\frac{a^7}{5b}\right)} = -\sqrt{-\frac{25a^2b^2a^7}{5b}}$
Сокращаем и перемножаем:
$-\sqrt{-5a^{2+7}b^{2-1}} = -\sqrt{-5a^9b}$
Ответ: $-\sqrt{-5a^9b}$