Номер 17.38, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.38, страница 150.

Условие.

17.38. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$

2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}$

Решение.

1)

Данное выражение представляет собой сумму дробей. Упростим каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Общий вид слагаемого в сумме: $ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $.

Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $:

$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2 = (k+1) - k = 1 $

Таким образом, каждое слагаемое упрощается до вида $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $.

Перепишем всю сумму с учетом этого преобразования, где $k$ последовательно принимает значения от 1 до 99 (т.к. $1 = \sqrt{1}$):

$ (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + ... + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) $

Это телескопическая сумма. Раскрыв скобки, мы видим, что большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$ -\sqrt{1} + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + ... - \sqrt{99} + \sqrt{100} $

Остаются только первое и последнее слагаемые:

$ \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9 $

Ответ: 9

2)

Аналогично первому пункту, упростим каждое слагаемое в сумме, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий вид слагаемого можно представить как $ \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k}} $, где $k$ принимает значения из арифметической прогрессии 2, 5, 8, ..., 47.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{k+3}-\sqrt{k} $:

$ \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+3}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+3}+\sqrt{k})(\sqrt{k+3}-\sqrt{k})} $

В знаменателе получаем разность квадратов:

$ (\sqrt{k+3})^2 - (\sqrt{k})^2 = (k+3) - k = 3 $

Таким образом, каждое слагаемое преобразуется к виду $ \frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k}}{3} $.

Теперь вся сумма выглядит так:

$ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3} + ... + \frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3} $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \cdot [(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + (\sqrt{8}-\sqrt{5}) + (\sqrt{11}-\sqrt{8}) + ... + (\sqrt{50}-\sqrt{47})] $

Сумма в скобках является телескопической. После взаимного уничтожения промежуточных членов остаются только первый и последний:

$ \frac{1}{3} \cdot [-\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{8} + ... - \sqrt{47} + \sqrt{50}] = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{50} - \sqrt{2}) $

Упростим выражение в скобках. Заметим, что $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $.

$ \frac{1}{3} \cdot (5\sqrt{2} - \sqrt{2}) = \frac{1}{3} \cdot (4\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $