Номер 17.38, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.38, страница 150.
№17.38 (с. 150)
Условие. №17.38 (с. 150)
скриншот условия
 
                                17.38. Упростите выражение:
1) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$
2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}$
Решение. №17.38 (с. 150)
1)
Данное выражение представляет собой сумму дробей. Упростим каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю. Общий вид слагаемого в сумме: $ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $.
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $:
$ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} $
В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ (\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2 = (k+1) - k = 1 $
Таким образом, каждое слагаемое упрощается до вида $ \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $.
Перепишем всю сумму с учетом этого преобразования, где $k$ последовательно принимает значения от 1 до 99 (т.к. $1 = \sqrt{1}$):
$ (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + ... + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) $
Это телескопическая сумма. Раскрыв скобки, мы видим, что большинство слагаемых взаимно уничтожаются:
$ -\sqrt{1} + \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + ... - \sqrt{99} + \sqrt{100} $
Остаются только первое и последнее слагаемые:
$ \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9 $
Ответ: 9
2)
Аналогично первому пункту, упростим каждое слагаемое в сумме, избавившись от иррациональности в знаменателе. Общий вид слагаемого можно представить как $ \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k}} $, где $k$ принимает значения из арифметической прогрессии 2, 5, 8, ..., 47.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{k+3}-\sqrt{k} $:
$ \frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{k+3}-\sqrt{k})}{(\sqrt{k+3}+\sqrt{k})(\sqrt{k+3}-\sqrt{k})} $
В знаменателе получаем разность квадратов:
$ (\sqrt{k+3})^2 - (\sqrt{k})^2 = (k+3) - k = 3 $
Таким образом, каждое слагаемое преобразуется к виду $ \frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k}}{3} $.
Теперь вся сумма выглядит так:
$ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3} + ... + \frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3} $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:
$ \frac{1}{3} \cdot [(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + (\sqrt{8}-\sqrt{5}) + (\sqrt{11}-\sqrt{8}) + ... + (\sqrt{50}-\sqrt{47})] $
Сумма в скобках является телескопической. После взаимного уничтожения промежуточных членов остаются только первый и последний:
$ \frac{1}{3} \cdot [-\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{8} + ... - \sqrt{47} + \sqrt{50}] = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{50} - \sqrt{2}) $
Упростим выражение в скобках. Заметим, что $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} $.
$ \frac{1}{3} \cdot (5\sqrt{2} - \sqrt{2}) = \frac{1}{3} \cdot (4\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} $
Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 17.38 расположенного на странице 150 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.38 (с. 150), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    