Номер 17.44, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.44, страница 150.

Условие.

17.44. Докажите равенство

$\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}}} = \sqrt{2}.$

Решение.

Доказательство:

Обозначим левую часть равенства (ЛЧ) и преобразуем её:

$ЛЧ = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

Для упрощения выражений со вложенными корнями $ \sqrt{2 + \sqrt{3}} $ и $ \sqrt{2 - \sqrt{3}} $ воспользуемся формулой сложного радикала: $ \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} $.

Упростим $ \sqrt{2 + \sqrt{3}} $. Для этого выражения $ A = 2, B = 3 $:

$ \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2^2 - 3}}{2}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2^2 - 3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} $.

Аналогично упростим $ \sqrt{2 - \sqrt{3}} $:

$ \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2^2 - 3}}{2}} - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2^2 - 3}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} - \sqrt{\frac{2 - 1}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} $.

Также заметим, что числители можно представить в виде квадратов:

$ 2 + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} $

$ 2 - \sqrt{3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2} $

Теперь преобразуем каждое слагаемое в исходном выражении.

Первое слагаемое:

$ \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}{\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}{\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} $.

Второе слагаемое:

$ \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}{\frac{2-(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}{\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}{\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} $.

Сложим полученные выражения:

$ ЛЧ = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} + \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}((\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1))}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(2\sqrt{3})}{2\sqrt{3}} = \sqrt{2} $.

Мы получили, что левая часть равенства равна $ \sqrt{2} $, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.