Номер 17.45, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.45, страница 150.

Условие.

17.45. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$;

2) $\sqrt{a+1+4\sqrt{a-3}}$;

3) $\sqrt{\frac{x+4}{4}+\sqrt{x}}$;

4) $\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-3}-2-1}}{\sqrt{x-3}}$;

5) $\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}$, если $x \ge 1$;

6) $\sqrt{x^2+2+2\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{x^2+2-2\sqrt{x^2+1}}$;

7) $\sqrt{2a+3-2\sqrt{a^2+3a+2}}+\sqrt{a+1}$.

Решение.

1)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$.

Постараемся представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Перепишем выражение под корнем: $a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $(\sqrt{a-1} + 1)^2$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем $|\sqrt{a-1}+1|$.

Так как по ОДЗ $a \ge 1$, то $\sqrt{a-1} \ge 0$, и следовательно, сумма $\sqrt{a-1}+1$ всегда положительна. Значит, модуль можно опустить.

$\sqrt{a-1}+1$.

Ответ: $\sqrt{a-1}+1$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a+1+4\sqrt{a-3}}$.

ОДЗ: $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Заметим, что $4\sqrt{a-3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a-3}$.

Перепишем выражение под корнем: $a+1+4\sqrt{a-3} = (a-3) + 4 + 4\sqrt{a-3} = (\sqrt{a-3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a-3} + 2^2$.

Это полный квадрат суммы: $(\sqrt{a-3} + 2)^2$.

Исходное выражение равно: $\sqrt{(\sqrt{a-3} + 2)^2} = |\sqrt{a-3} + 2|$.

Так как $a \ge 3$, то $\sqrt{a-3} \ge 0$, и сумма $\sqrt{a-3} + 2$ всегда положительна. Модуль можно опустить.

$\sqrt{a-3}+2$.

Ответ: $\sqrt{a-3}+2$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{x+4}{4} + \sqrt{x}}$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, приведя к общему знаменателю:

$\sqrt{\frac{x+4+4\sqrt{x}}{4}} = \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}}{2}$.

Выражение в числителе под корнем $x+4\sqrt{x}+4$ можно представить как полный квадрат:

$x+4\sqrt{x}+4 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x}+2)^2$.

Тогда выражение принимает вид: $\frac{\sqrt{(\sqrt{x}+2)^2}}{2} = \frac{|\sqrt{x}+2|}{2}$.

Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и сумма $\sqrt{x}+2$ всегда положительна. Модуль можно опустить.

$\frac{\sqrt{x}+2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{x}+2}{2}$.

4)

Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-3}-2}-1}{\sqrt{x-3}}$.

ОДЗ: $x-3 \ge 0$ и $\sqrt{x-3} \ne 0$, что дает $x > 3$. Также необходимо, чтобы $x+2\sqrt{x-3}-2 \ge 0$.

Упростим числитель. Рассмотрим выражение под корнем в числителе: $x+2\sqrt{x-3}-2$.

Перепишем его: $x-3+1+2\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3})^2 + 2\sqrt{x-3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-3}+1)^2$.

Теперь числитель равен $\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2} - 1 = |\sqrt{x-3}+1| - 1$.

Так как $x>3$, то $\sqrt{x-3}>0$, и сумма $\sqrt{x-3}+1$ положительна. Модуль можно опустить.

Числитель становится: $(\sqrt{x-3}+1) - 1 = \sqrt{x-3}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-3}} = 1$.

Условие $x+2\sqrt{x-3}-2 \ge 0$ выполняется, так как это выражение равно $(\sqrt{x-3}+1)^2 \ge 0$.

Ответ: $1$.

5)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}$ при $x \ge 1$.

ОДЗ: $x^2-1 \ge 0$ и $2x-2\sqrt{x^2-1} \ge 0$. Условие $x \ge 1$ удовлетворяет $x^2-1 \ge 0$.

Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

Заметим, что $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Выражение под корнем: $2x-2\sqrt{(x+1)(x-1)}$.

Представим $2x$ как $(x+1)+(x-1)$. Тогда подкоренное выражение равно:

$(x+1) - 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (x-1) = (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2$.

Исходное выражение равно: $\sqrt{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2} = |\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}|$.

При $x \ge 1$, имеем $x+1 > x-1 \ge 0$. Так как функция $y=\sqrt{t}$ возрастающая, то $\sqrt{x+1} > \sqrt{x-1}$.

Следовательно, разность $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$ положительна, и модуль можно опустить.

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$.

Ответ: $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$.

6)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^2+2+2\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+2-2\sqrt{x^2+1}}$.

ОДЗ: $x^2+1 \ge 0$ (верно для любого $x$), а также подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

Упростим первое слагаемое: $\sqrt{x^2+2+2\sqrt{x^2+1}}$.

Подкоренное выражение $x^2+2+2\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)+2\sqrt{x^2+1}+1 = (\sqrt{x^2+1})^2+2\sqrt{x^2+1}\cdot 1+1^2 = (\sqrt{x^2+1}+1)^2$.

Тогда первое слагаемое равно $\sqrt{(\sqrt{x^2+1}+1)^2} = |\sqrt{x^2+1}+1|$. Так как $\sqrt{x^2+1} \ge 1$, сумма всегда положительна. Получаем $\sqrt{x^2+1}+1$.

Упростим второе слагаемое: $\sqrt{x^2+2-2\sqrt{x^2+1}}$.

Подкоренное выражение $x^2+2-2\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)-2\sqrt{x^2+1}+1 = (\sqrt{x^2+1}-1)^2$.

Тогда второе слагаемое равно $\sqrt{(\sqrt{x^2+1}-1)^2} = |\sqrt{x^2+1}-1|$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, и $\sqrt{x^2+1} \ge 1$. Значит, разность $\sqrt{x^2+1}-1$ неотрицательна. Получаем $\sqrt{x^2+1}-1$.

Теперь вычтем второе из первого:

$(\sqrt{x^2+1}+1) - (\sqrt{x^2+1}-1) = \sqrt{x^2+1}+1-\sqrt{x^2+1}+1 = 2$.

Подкоренные выражения являются полными квадратами, поэтому они всегда неотрицательны. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $2$.

7)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2a+3-2\sqrt{a^2+3a+2}} + \sqrt{a+1}$.

ОДЗ определяется условиями: $a+1 \ge 0$ и $a^2+3a+2 \ge 0$.

Из первого условия $a \ge -1$. Разложим квадратный трехчлен: $a^2+3a+2=(a+1)(a+2)$. При $a \ge -1$ оба множителя $(a+1)$ и $(a+2)$ неотрицательны, так что второе условие также выполняется. ОДЗ: $a \ge -1$.

Упростим первый член: $\sqrt{2a+3-2\sqrt{a^2+3a+2}}$.

Подкоренное выражение: $2a+3-2\sqrt{(a+1)(a+2)}$.

Представим $2a+3$ как $(a+2)+(a+1)$. Тогда выражение под корнем равно:

$(a+2) - 2\sqrt{a+2}\sqrt{a+1} + (a+1) = (\sqrt{a+2})^2 - 2\sqrt{a+2}\sqrt{a+1} + (\sqrt{a+1})^2 = (\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1})^2$.

Первый член равен $\sqrt{(\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1})^2} = |\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}|$.

При $a \ge -1$, имеем $a+2 > a+1 \ge 0$. Так как функция корня возрастающая, $\sqrt{a+2} > \sqrt{a+1}$.

Следовательно, разность $\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$ положительна, и модуль можно опустить. Получаем $\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}) + \sqrt{a+1} = \sqrt{a+2}$.

Ответ: $\sqrt{a+2}$.