Номер 17.45, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.45, страница 150.
№17.45 (с. 150)
Условие. №17.45 (с. 150)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        17.45. Упростите выражение:
1) $\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}$;
2) $\sqrt{a+1+4\sqrt{a-3}}$;
3) $\sqrt{\frac{x+4}{4}+\sqrt{x}}$;
4) $\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-3}-2-1}}{\sqrt{x-3}}$;
5) $\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}$, если $x \ge 1$;
6) $\sqrt{x^2+2+2\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{x^2+2-2\sqrt{x^2+1}}$;
7) $\sqrt{2a+3-2\sqrt{a^2+3a+2}}+\sqrt{a+1}$.
Решение. №17.45 (с. 150)
1)
Рассмотрим выражение $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $a-1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$.
Постараемся представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Перепишем выражение под корнем: $a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2$.
Это выражение является полным квадратом суммы: $(\sqrt{a-1} + 1)^2$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $\sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем $|\sqrt{a-1}+1|$.
Так как по ОДЗ $a \ge 1$, то $\sqrt{a-1} \ge 0$, и следовательно, сумма $\sqrt{a-1}+1$ всегда положительна. Значит, модуль можно опустить.
$\sqrt{a-1}+1$.
Ответ: $\sqrt{a-1}+1$.
2)
Рассмотрим выражение $\sqrt{a+1+4\sqrt{a-3}}$.
ОДЗ: $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Заметим, что $4\sqrt{a-3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a-3}$.
Перепишем выражение под корнем: $a+1+4\sqrt{a-3} = (a-3) + 4 + 4\sqrt{a-3} = (\sqrt{a-3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a-3} + 2^2$.
Это полный квадрат суммы: $(\sqrt{a-3} + 2)^2$.
Исходное выражение равно: $\sqrt{(\sqrt{a-3} + 2)^2} = |\sqrt{a-3} + 2|$.
Так как $a \ge 3$, то $\sqrt{a-3} \ge 0$, и сумма $\sqrt{a-3} + 2$ всегда положительна. Модуль можно опустить.
$\sqrt{a-3}+2$.
Ответ: $\sqrt{a-3}+2$.
3)
Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{x+4}{4} + \sqrt{x}}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Преобразуем подкоренное выражение, приведя к общему знаменателю:
$\sqrt{\frac{x+4+4\sqrt{x}}{4}} = \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}}{2}$.
Выражение в числителе под корнем $x+4\sqrt{x}+4$ можно представить как полный квадрат:
$x+4\sqrt{x}+4 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x}+2)^2$.
Тогда выражение принимает вид: $\frac{\sqrt{(\sqrt{x}+2)^2}}{2} = \frac{|\sqrt{x}+2|}{2}$.
Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и сумма $\sqrt{x}+2$ всегда положительна. Модуль можно опустить.
$\frac{\sqrt{x}+2}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{x}+2}{2}$.
4)
Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x-3}-2}-1}{\sqrt{x-3}}$.
ОДЗ: $x-3 \ge 0$ и $\sqrt{x-3} \ne 0$, что дает $x > 3$. Также необходимо, чтобы $x+2\sqrt{x-3}-2 \ge 0$.
Упростим числитель. Рассмотрим выражение под корнем в числителе: $x+2\sqrt{x-3}-2$.
Перепишем его: $x-3+1+2\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3})^2 + 2\sqrt{x-3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-3}+1)^2$.
Теперь числитель равен $\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2} - 1 = |\sqrt{x-3}+1| - 1$.
Так как $x>3$, то $\sqrt{x-3}>0$, и сумма $\sqrt{x-3}+1$ положительна. Модуль можно опустить.
Числитель становится: $(\sqrt{x-3}+1) - 1 = \sqrt{x-3}$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-3}} = 1$.
Условие $x+2\sqrt{x-3}-2 \ge 0$ выполняется, так как это выражение равно $(\sqrt{x-3}+1)^2 \ge 0$.
Ответ: $1$.
5)
Рассмотрим выражение $\sqrt{2x-2\sqrt{x^2-1}}$ при $x \ge 1$.
ОДЗ: $x^2-1 \ge 0$ и $2x-2\sqrt{x^2-1} \ge 0$. Условие $x \ge 1$ удовлетворяет $x^2-1 \ge 0$.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.
Заметим, что $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Выражение под корнем: $2x-2\sqrt{(x+1)(x-1)}$.
Представим $2x$ как $(x+1)+(x-1)$. Тогда подкоренное выражение равно:
$(x+1) - 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (x-1) = (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2$.
Исходное выражение равно: $\sqrt{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})^2} = |\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}|$.
При $x \ge 1$, имеем $x+1 > x-1 \ge 0$. Так как функция $y=\sqrt{t}$ возрастающая, то $\sqrt{x+1} > \sqrt{x-1}$.
Следовательно, разность $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$ положительна, и модуль можно опустить.
$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$.
Ответ: $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$.
6)
Рассмотрим выражение $\sqrt{x^2+2+2\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+2-2\sqrt{x^2+1}}$.
ОДЗ: $x^2+1 \ge 0$ (верно для любого $x$), а также подкоренные выражения должны быть неотрицательны.
Упростим первое слагаемое: $\sqrt{x^2+2+2\sqrt{x^2+1}}$.
Подкоренное выражение $x^2+2+2\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)+2\sqrt{x^2+1}+1 = (\sqrt{x^2+1})^2+2\sqrt{x^2+1}\cdot 1+1^2 = (\sqrt{x^2+1}+1)^2$.
Тогда первое слагаемое равно $\sqrt{(\sqrt{x^2+1}+1)^2} = |\sqrt{x^2+1}+1|$. Так как $\sqrt{x^2+1} \ge 1$, сумма всегда положительна. Получаем $\sqrt{x^2+1}+1$.
Упростим второе слагаемое: $\sqrt{x^2+2-2\sqrt{x^2+1}}$.
Подкоренное выражение $x^2+2-2\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)-2\sqrt{x^2+1}+1 = (\sqrt{x^2+1}-1)^2$.
Тогда второе слагаемое равно $\sqrt{(\sqrt{x^2+1}-1)^2} = |\sqrt{x^2+1}-1|$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2+1 \ge 1$, и $\sqrt{x^2+1} \ge 1$. Значит, разность $\sqrt{x^2+1}-1$ неотрицательна. Получаем $\sqrt{x^2+1}-1$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(\sqrt{x^2+1}+1) - (\sqrt{x^2+1}-1) = \sqrt{x^2+1}+1-\sqrt{x^2+1}+1 = 2$.
Подкоренные выражения являются полными квадратами, поэтому они всегда неотрицательны. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $2$.
7)
Рассмотрим выражение $\sqrt{2a+3-2\sqrt{a^2+3a+2}} + \sqrt{a+1}$.
ОДЗ определяется условиями: $a+1 \ge 0$ и $a^2+3a+2 \ge 0$.
Из первого условия $a \ge -1$. Разложим квадратный трехчлен: $a^2+3a+2=(a+1)(a+2)$. При $a \ge -1$ оба множителя $(a+1)$ и $(a+2)$ неотрицательны, так что второе условие также выполняется. ОДЗ: $a \ge -1$.
Упростим первый член: $\sqrt{2a+3-2\sqrt{a^2+3a+2}}$.
Подкоренное выражение: $2a+3-2\sqrt{(a+1)(a+2)}$.
Представим $2a+3$ как $(a+2)+(a+1)$. Тогда выражение под корнем равно:
$(a+2) - 2\sqrt{a+2}\sqrt{a+1} + (a+1) = (\sqrt{a+2})^2 - 2\sqrt{a+2}\sqrt{a+1} + (\sqrt{a+1})^2 = (\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1})^2$.
Первый член равен $\sqrt{(\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1})^2} = |\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}|$.
При $a \ge -1$, имеем $a+2 > a+1 \ge 0$. Так как функция корня возрастающая, $\sqrt{a+2} > \sqrt{a+1}$.
Следовательно, разность $\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$ положительна, и модуль можно опустить. Получаем $\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\sqrt{a+2}-\sqrt{a+1}) + \sqrt{a+1} = \sqrt{a+2}$.
Ответ: $\sqrt{a+2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 17.45 расположенного на странице 150 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.45 (с. 150), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    