Вопросы?, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - страница 155.

Условие.

1. Какова область определения функции $y = \sqrt{x}$?

2. Какова область значений функции $y = \sqrt{x}$?

3. В какой координатной четверти находится график функции $y = \sqrt{x}$?

4. Чему равно значение аргумента, при котором значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 0?

5. Сравните значения функции $y = \sqrt{x}$ при неравных значениях аргумента.

Решение.

1. Какова область определения функции $y = \sqrt{x}$?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$, выражение, стоящее под знаком корня (подкоренное выражение), должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. В данном случае это означает, что $x \ge 0$.

Это можно записать в виде промежутка: $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2. Какова область значений функции $y = \sqrt{x}$?

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$. По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число. Это значит, что значение функции $y = \sqrt{x}$ всегда больше или равно нулю, то есть $y \ge 0$.

Это можно записать в виде промежутка: $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

3. В какой координатной четверти находится график функции $y = \sqrt{x}$?

Координатная четверть определяется знаками переменных $x$ и $y$. Из области определения мы знаем, что $x \ge 0$. Из области значений мы знаем, что $y \ge 0$. Условиям $x \ge 0$ и $y \ge 0$ удовлетворяют все точки, лежащие в первой координатной четверти, включая начало координат $(0,0)$ и положительные части осей координат.

Ответ: в первой координатной четверти.

4. Чему равно значение аргумента, при котором значение функции $y = \sqrt{x}$ равно 0?

Для нахождения искомого значения аргумента $x$, необходимо решить уравнение, подставив в него значение функции $y=0$:

$\sqrt{x} = 0$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 0^2$

$x = 0$

Следовательно, функция равна нулю при значении аргумента, равном нулю.

Ответ: 0.

5. Сравните значения функции $y = \sqrt{x}$ при неравных значениях аргумента.

Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что если взять два любых значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения ($x \ge 0$) такие, что $x_2 > x_1$, то и соответствующее значение функции $y_2$ будет больше $y_1$.
Формально: пусть $x_2 > x_1 \ge 0$. Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем извлечь из них квадратный корень, и знак неравенства сохранится: $\sqrt{x_2} > \sqrt{x_1}$.
Это значит, что $y_2 > y_1$.
Таким образом, большему значению аргумента всегда соответствует большее значение функции.

Ответ: Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.