Номер 17.43, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.43, страница 150.

Условие.

17.43. Докажите равенство

$\frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2}.$

Решение.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Обозначим ее за $L$.

$L = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}}$

1. Упростим вложенные квадратные корни.

Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы/разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Выражение $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$:

$6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 + \sqrt{2})^2$

Следовательно, $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2} = |2 + \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2}$.

Выражение $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$:

$6 - 4\sqrt{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 - \sqrt{2})^2$

Следовательно, $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$ (так как $2 > \sqrt{2}$).

2. Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть.

$L = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + (2 + \sqrt{2})} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - (2 - \sqrt{2})}$

Упростим знаменатели:

$L = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2}$

3. Упростим каждую дробь.

Для первой дроби:

$\frac{6 + 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{2(3 + 2\sqrt{2})}{2(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$

Заметим, что числитель является полным квадратом: $3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1 + \sqrt{2})^2$.

Тогда первая дробь равна: $\frac{(1 + \sqrt{2})^2}{1 + \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.

Для второй дроби:

$\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2(\sqrt{2} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$

Заметим, что числитель также является полным квадратом: $3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^2$.

Тогда вторая дробь равна: $\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} - 1$.

4. Сложим полученные результаты.

$L = (1 + \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 2\sqrt{2}$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна $2\sqrt{2}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.