Номер 17.43, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.43, страница 150.
№17.43 (с. 150)
Условие. №17.43 (с. 150)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        17.43. Докажите равенство
$\frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2}.$
Решение. №17.43 (с. 150)
Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Обозначим ее за $L$.
$L = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}}$
1. Упростим вложенные квадратные корни.
Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы/разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Выражение $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$:
$6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 + \sqrt{2})^2$
Следовательно, $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2} = |2 + \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2}$.
Выражение $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$:
$6 - 4\sqrt{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 - \sqrt{2})^2$
Следовательно, $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}$ (так как $2 > \sqrt{2}$).
2. Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть.
$L = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + (2 + \sqrt{2})} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - (2 - \sqrt{2})}$
Упростим знаменатели:
$L = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2}$
3. Упростим каждую дробь.
Для первой дроби:
$\frac{6 + 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{2(3 + 2\sqrt{2})}{2(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$
Заметим, что числитель является полным квадратом: $3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1 + \sqrt{2})^2$.
Тогда первая дробь равна: $\frac{(1 + \sqrt{2})^2}{1 + \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.
Для второй дроби:
$\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2(\sqrt{2} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$
Заметим, что числитель также является полным квадратом: $3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2} - 1)^2$.
Тогда вторая дробь равна: $\frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} - 1$.
4. Сложим полученные результаты.
$L = (1 + \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 2\sqrt{2}$
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна $2\sqrt{2}$, что совпадает с правой частью. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 17.43 расположенного на странице 150 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.43 (с. 150), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    