Номер 17.41, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.41, страница 150.

Условие.

17.41. Упростите выражение:

1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}$;

2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3} + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$;

3) $\sqrt{8 - \sqrt{28}} - \sqrt{8 + \sqrt{28}};$

4) $\sqrt{4 + \sqrt{15}} - \sqrt{4 - \sqrt{15}}$.

Решение.

1) $\sqrt{10 + 8\sqrt{2} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}$

Примечание: В данном примере, скорее всего, допущена опечатка, так как в исходном виде выражение не упрощается до стандартного простого вида (суммы рационального числа и радикала). Решение будет приведено для наиболее вероятного исправленного варианта: $\sqrt{10 + 4\sqrt{2} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}}$.

1. Сначала упростим самый внутренний корень $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$9 + 4\sqrt{2} = 9 + 2 \cdot 2\sqrt{2} = 9 + 2\sqrt{8}$.

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 8. Это числа 8 и 1. Таким образом:

$9 + 4\sqrt{2} = (\sqrt{8} + \sqrt{1})^2 = (2\sqrt{2} + 1)^2$.

Следовательно, $\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} + 1)^2} = 2\sqrt{2} + 1$.

2. Теперь подставим полученный результат в (исправленное) исходное выражение:

$\sqrt{10 + 4\sqrt{2} + (2\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{(10+1) + (4\sqrt{2} + 2\sqrt{2})} = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$.

3. Упростим полученный корень $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}$ тем же методом:

$11 + 6\sqrt{2} = 11 + 2 \cdot 3\sqrt{2} = 11 + 2\sqrt{18}$.

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 18. Это числа 9 и 2.

Следовательно, $11 + 6\sqrt{2} = (\sqrt{9} + \sqrt{2})^2 = (3 + \sqrt{2})^2$.

Окончательно получаем: $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{2}$.

Ответ: $3 + \sqrt{2}$.

2) $\sqrt{22 + 6\sqrt{3} + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$

Примечание: В данном примере, как и в предыдущем, скорее всего, допущена опечатка. В исходном виде выражение приводит к $\sqrt{23 + 8\sqrt{3}}$, которое далее не упрощается. Решение будет приведено для исправленного варианта, где 22 заменено на 18: $\sqrt{18 + 6\sqrt{3} + \sqrt{13 + \sqrt{48}}}$.

1. Сначала упростим внутренний корень $\sqrt{13 + \sqrt{48}}$.

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{13 + 2\sqrt{12}}$.

Ищем два числа, сумма которых 13, а произведение 12. Это числа 12 и 1. Таким образом:

$13 + 4\sqrt{3} = (\sqrt{12} + \sqrt{1})^2 = (2\sqrt{3} + 1)^2$.

Следовательно, $\sqrt{13 + \sqrt{48}} = 2\sqrt{3} + 1$.

2. Подставим полученный результат в (исправленное) исходное выражение:

$\sqrt{18 + 6\sqrt{3} + (2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{(18+1) + (6\sqrt{3} + 2\sqrt{3})} = \sqrt{19 + 8\sqrt{3}}$.

3. Упростим полученный корень $\sqrt{19 + 8\sqrt{3}}$:

$19 + 8\sqrt{3} = 19 + 2\sqrt{16 \cdot 3} = 19 + 2\sqrt{48}$.

Ищем два числа, сумма которых 19, а произведение 48. Это числа 16 и 3.

Следовательно, $19 + 8\sqrt{3} = (\sqrt{16} + \sqrt{3})^2 = (4 + \sqrt{3})^2$.

Окончательно получаем: $\sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} = 4 + \sqrt{3}$.

Ответ: $4 + \sqrt{3}$.

3) $\sqrt{8-\sqrt{28}} - \sqrt{8+\sqrt{28}}$

Упростим каждый корень в отдельности, приведя подкоренные выражения к виду полного квадрата $(a \pm b)^2$.

1. Упростим $\sqrt{8-\sqrt{28}}$:

$\sqrt{8-\sqrt{28}} = \sqrt{8-\sqrt{4 \cdot 7}} = \sqrt{8-2\sqrt{7}}$.

Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 7. Это числа 7 и 1.

Следовательно, $8-2\sqrt{7} = (\sqrt{7} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} - 1)^2$.

Тогда $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = \sqrt{7}-1$ (так как $\sqrt{7} > 1$, значение корня должно быть положительным).

2. Упростим $\sqrt{8+\sqrt{28}}$:

$\sqrt{8+\sqrt{28}} = \sqrt{8+2\sqrt{7}}$.

Используя те же числа 7 и 1, получаем $8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{7} + 1)^2$.

Тогда $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = \sqrt{7}+1$.

3. Подставим упрощенные выражения в исходное:

$(\sqrt{7}-1) - (\sqrt{7}+1) = \sqrt{7} - 1 - \sqrt{7} - 1 = -2$.

Ответ: $-2$.

4) $\sqrt{4+\sqrt{15}} - \sqrt{4-\sqrt{15}}$

Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt{4+\sqrt{15}} - \sqrt{4-\sqrt{15}}$.

Поскольку $4 = \sqrt{16}$, то $\sqrt{15} < 4$, значит оба подкоренных выражения положительны. Также, $\sqrt{4+\sqrt{15}} > \sqrt{4-\sqrt{15}}$, поэтому $x > 0$.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{4+\sqrt{15}} - \sqrt{4-\sqrt{15}})^2$.

Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 = (4+\sqrt{15}) - 2\sqrt{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})} + (4-\sqrt{15})$.

Упростим правую часть. Слагаемые с $\sqrt{15}$ взаимно уничтожаются. Произведение под корнем является разностью квадратов:

$x^2 = 4 + 4 - 2\sqrt{4^2 - (\sqrt{15})^2}$.

$x^2 = 8 - 2\sqrt{16 - 15} = 8 - 2\sqrt{1} = 8 - 2 = 6$.

Итак, $x^2 = 6$. Так как мы ранее установили, что $x>0$, то $x = \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{6}$.