Номер 18.3, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.3, страница 156.

Условие.

18.3. При каких значениях x выполняется неравенство:

1) $\sqrt{4x-3} \le 1$;

2) $\sqrt{3x-1} > \sqrt{x+2}$;

3) $\sqrt{|x|+1} \le 3$?

Решение.

1)

Решим неравенство $\sqrt{4x-3} \le 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$4x - 3 \ge 0$

$4x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{4}$

ОДЗ: $x \in [\frac{3}{4}, +\infty)$.

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{4x-3}$ и $1$) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{4x-3})^2 \le 1^2$

$4x - 3 \le 1$

$4x \le 4$

$x \le 1$

Теперь найдем пересечение полученного решения $x \le 1$ с ОДЗ $x \ge \frac{3}{4}$.

Объединяя эти два условия, получаем: $\frac{3}{4} \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}, 1]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{3x-1} > \sqrt{x+2}$.

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

$3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$

$x \ge -2$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$.

Так как обе части исходного неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{3x-1})^2 > (\sqrt{x+2})^2$

$3x - 1 > x + 2$

$3x - x > 2 + 1$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

Найдем пересечение решения $x > \frac{3}{2}$ с ОДЗ $x \ge \frac{1}{3}$.

Поскольку $\frac{3}{2} > \frac{1}{3}$, условие $x > \frac{3}{2}$ является более строгим и удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, решением является $x > \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}, +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{|x|+1} \le 3$.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$|x| + 1 \ge 0$

Так как по определению $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 1 \ge 1$. Это означает, что подкоренное выражение всегда положительно. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{|x|+1})^2 \le 3^2$

$|x| + 1 \le 9$

$|x| \le 8$

Неравенство вида $|x| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$.

Таким образом, $-8 \le x \le 8$.

Это решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in [-8, 8]$.