Номер 18.7, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.7, страница 156.

Условие.

18.7. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } x \le 1, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо построить график для каждой из двух частей на указанных промежутках и затем объединить их.

Построение графика функции $f(x) = x^2$ при $x \le 1$

Графиком функции $y=x^2$ является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужна та часть параболы, которая соответствует значениям $x \le 1$. Найдем несколько ключевых точек для этой части графика, выбирая значения $x$ из данного промежутка:

При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ является конечной точкой этого участка и принадлежит графику (так как неравенство нестрогое).

При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ — вершина параболы.

При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty, 1]$ график представляет собой левую ветвь и часть правой ветви параболы.

Построение графика функции $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 1$

Графиком функции $y=\sqrt{x}$ является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Нам нужна та часть этого графика, которая соответствует значениям $x$ строго больше 1. Найдем несколько ключевых точек:

Рассмотрим поведение на границе: при $x$, стремящемся к 1 справа, значение $y$ стремится к $\sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является начальной для этого луча, но сама в него не входит (так называемая «выколотая» точка), поскольку условие строгое ($x>1$).

При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.

При $x = 9$, $y = \sqrt{9} = 3$. Точка $(9, 3)$.

Этот участок графика представляет собой кривую, выходящую из точки $(1, 1)$ и плавно возрастающую.

Объединение графиков

Теперь объединим построенные части на одной координатной плоскости. Первая часть графика (парабола) заканчивается в точке $(1, 1)$, и эта точка включена. Вторая часть графика (корень) начинается из точки $(1, 1)$, но эта точка исключена. Поскольку значение функции в точке $x=1$ определено по первой формуле ($f(1)=1$) и оно совпадает с пределом функции по второй формуле при $x \to 1^+$, то графики «стыкуются» в точке $(1, 1)$. В результате получается непрерывная кривая без разрывов.

Ответ: Итоговый график состоит из двух частей, соединенных в точке $(1, 1)$. При $x \le 1$ это часть параболы $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. При $x > 1$ это часть графика $y = \sqrt{x}$, которая начинается в точке $(1, 1)$ и проходит, например, через точку $(4, 2)$.