Номер 18.13, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.13, страница 156.

Условие.

18.13. Упростите выражение $\sqrt{(\sqrt{a}-6)^2 + 24\sqrt{a}} - \sqrt{(\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a}}$

Решение.

Для того чтобы упростить данное выражение, преобразуем выражения под знаками корней, выделив в них полные квадраты.

Преобразуем первое подкоренное выражение $(\sqrt{a}-6)^2 + 24\sqrt{a}$. Раскроем квадрат разности и приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 + 24\sqrt{a} = a - 12\sqrt{a} + 36 + 24\sqrt{a} = a + 12\sqrt{a} + 36$.

Полученное выражение представляет собой полный квадрат суммы: $a + 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a}+6)^2$.

Теперь преобразуем второе подкоренное выражение $(\sqrt{a}+6)^2 - 24\sqrt{a}$. Раскроем квадрат суммы и приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 6 + 6^2 - 24\sqrt{a} = a + 12\sqrt{a} + 36 - 24\sqrt{a} = a - 12\sqrt{a} + 36$.

Это выражение является полным квадратом разности: $a - 12\sqrt{a} + 36 = (\sqrt{a}-6)^2$.

После преобразований исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{a}+6)^2} - \sqrt{(\sqrt{a}-6)^2}$.

Применим свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$:

$|\sqrt{a}+6| - |\sqrt{a}-6|$.

Область допустимых значений переменной $a$ определяется условием $a \ge 0$.

Поскольку $\sqrt{a} \ge 0$, выражение $\sqrt{a}+6$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{a}+6| = \sqrt{a}+6$.

Для раскрытия модуля $|\sqrt{a}-6|$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $\sqrt{a}-6$.

Случай 1: $\sqrt{a}-6 \ge 0$

Данное условие выполняется, если $\sqrt{a} \ge 6$, то есть при $a \ge 36$. В этом случае $|\sqrt{a}-6| = \sqrt{a}-6$.

Выражение становится равным:

$(\sqrt{a}+6) - (\sqrt{a}-6) = \sqrt{a}+6 - \sqrt{a}+6 = 12$.

Случай 2: $\sqrt{a}-6 < 0$

Данное условие выполняется, если $\sqrt{a} < 6$, то есть при $0 \le a < 36$. В этом случае $|\sqrt{a}-6| = -(\sqrt{a}-6) = 6-\sqrt{a}$.

Выражение становится равным:

$(\sqrt{a}+6) - (6-\sqrt{a}) = \sqrt{a}+6 - 6+\sqrt{a} = 2\sqrt{a}$.

Таким образом, итоговое значение выражения зависит от значения переменной $a$.

Ответ: $\begin{cases} 2\sqrt{a}, & \text{при } 0 \le a < 36 \\ 12, & \text{при } a \ge 36 \end{cases}$