Номер 18.12, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.12, страница 156.

Условие.

18.12. Упростите выражение

$\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}} + \sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}}$

Решение.

Для упрощения данного выражения необходимо преобразовать выражения, стоящие под знаками внешних корней.

Упрощение первого слагаемого $\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a}}$
Сначала упростим подкоренное выражение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$(\sqrt{a}+1)^2 - 4\sqrt{a} = ((\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) - 4\sqrt{a} = a + 2\sqrt{a} + 1 - 4\sqrt{a}$.
Приведем подобные слагаемые:
$a + (2\sqrt{a} - 4\sqrt{a}) + 1 = a - 2\sqrt{a} + 1$.
Полученное выражение является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$:
$a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}-1)^2$.
Теперь первое слагаемое можно записать как $\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{a}-1)^2} = |\sqrt{a}-1|$.

Упрощение второго слагаемого $\sqrt{(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a}}$
Аналогично упростим второе подкоренное выражение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:
$(\sqrt{a}-2)^2 + 8\sqrt{a} = ((\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2) + 8\sqrt{a} = a - 4\sqrt{a} + 4 + 8\sqrt{a}$.
Приведем подобные слагаемые:
$a + (-4\sqrt{a} + 8\sqrt{a}) + 4 = a + 4\sqrt{a} + 4$.
Это выражение является полным квадратом суммы:
$a + 4\sqrt{a} + 4 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{a}+2)^2$.
Таким образом, второе слагаемое равно $\sqrt{(\sqrt{a}+2)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{(\sqrt{a}+2)^2} = |\sqrt{a}+2|$.

Сложение полученных выражений и раскрытие модулей
Исходное выражение после упрощений принимает вид:
$|\sqrt{a}-1| + |\sqrt{a}+2|$.
Область допустимых значений переменной $a$ определяется наличием $\sqrt{a}$, то есть $a \ge 0$.
Для того чтобы раскрыть модули, нужно определить знаки их подмодульных выражений.
1. Выражение $\sqrt{a}+2$ всегда положительно при $a \ge 0$, так как $\sqrt{a} \ge 0$, а значит $\sqrt{a}+2 \ge 2$. Следовательно, $|\sqrt{a}+2| = \sqrt{a}+2$.
2. Знак выражения $\sqrt{a}-1$ зависит от значения $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $0 \le a < 1$.
В этом случае $0 \le \sqrt{a} < 1$, поэтому выражение $\sqrt{a}-1$ будет отрицательным. Значит, $|\sqrt{a}-1| = -(\sqrt{a}-1) = 1-\sqrt{a}$.
Тогда все выражение равно: $(1-\sqrt{a}) + (\sqrt{a}+2) = 1 - \sqrt{a} + \sqrt{a} + 2 = 3$.
Случай 2: $a \ge 1$.
В этом случае $\sqrt{a} \ge 1$, поэтому выражение $\sqrt{a}-1$ будет неотрицательным. Значит, $|\sqrt{a}-1| = \sqrt{a}-1$.
Тогда все выражение равно: $(\sqrt{a}-1) + (\sqrt{a}+2) = \sqrt{a} - 1 + \sqrt{a} + 2 = 2\sqrt{a} + 1$.

Объединим результаты двух случаев.
Ответ: $\begin{cases} 3, & \text{если } 0 \le a < 1 \\ 2\sqrt{a}+1, & \text{если } a \ge 1 \end{cases}$.