Номер 18.11, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.11, страница 156.

Условие.

18.11. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{x} = a-x$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение.

Для решения уравнения $\sqrt{x} = a - x$ воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение, выразив параметр $a$:$$ a = x + \sqrt{x} $$

Задача сводится к определению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x + \sqrt{x}$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем свойства функции $f(x) = x + \sqrt{x}$:
1. Область определения. Функция определена для всех $x$, при которых существует $\sqrt{x}$, то есть при $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.
2. Монотонность. Найдем производную функции:$$ f'(x) = (x + \sqrt{x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} $$На всей области определения, кроме $x=0$, производная $f'(x)$ положительна ($1 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$). Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.
3. Область значений. Так как функция непрерывна и строго возрастает на $[0, +\infty)$, ее наименьшее значение достигается в точке $x=0$:$$ f(0) = 0 + \sqrt{0} = 0 $$При $x \to +\infty$, значение функции также стремится к бесконечности. Таким образом, область значений функции $E(f) = [0, +\infty)$.

Теперь определим количество решений уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$. Количество решений равно числу точек пересечения графика $y = f(x)$ и прямой $y=a$.

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не пересекает график функции $f(x)$, так как все значения функции неотрицательны ($E(f) = [0, +\infty)$). В этом случае уравнение не имеет корней.
• Если $a \ge 0$, прямая $y=a$ пересекает график функции $f(x)$ ровно в одной точке. Это следует из того, что $a$ принадлежит области значений функции, а сама функция является строго монотонной (каждое свое значение она принимает только один раз). В этом случае уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, то корней нет; если $a \ge 0$, то один корень.