Номер 18.11, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.11, страница 156.

№18.11 (с. 156)
Условие. №18.11 (с. 156)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 156, номер 18.11, Условие

18.11. Сколько корней имеет уравнение $\sqrt{x} = a-x$ в зависимости от значения параметра $a$?

Решение. №18.11 (с. 156)

Для решения уравнения $\sqrt{x} = a - x$ воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение, выразив параметр $a$:$$ a = x + \sqrt{x} $$

Задача сводится к определению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x + \sqrt{x}$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем свойства функции $f(x) = x + \sqrt{x}$:
1. Область определения. Функция определена для всех $x$, при которых существует $\sqrt{x}$, то есть при $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.
2. Монотонность. Найдем производную функции:$$ f'(x) = (x + \sqrt{x})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} $$На всей области определения, кроме $x=0$, производная $f'(x)$ положительна ($1 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$). Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.
3. Область значений. Так как функция непрерывна и строго возрастает на $[0, +\infty)$, ее наименьшее значение достигается в точке $x=0$:$$ f(0) = 0 + \sqrt{0} = 0 $$При $x \to +\infty$, значение функции также стремится к бесконечности. Таким образом, область значений функции $E(f) = [0, +\infty)$.

Теперь определим количество решений уравнения $f(x) = a$ в зависимости от значения параметра $a$. Количество решений равно числу точек пересечения графика $y = f(x)$ и прямой $y=a$.

  • Если $a < 0$, прямая $y=a$ не пересекает график функции $f(x)$, так как все значения функции неотрицательны ($E(f) = [0, +\infty)$). В этом случае уравнение не имеет корней.
  • Если $a \ge 0$, прямая $y=a$ пересекает график функции $f(x)$ ровно в одной точке. Это следует из того, что $a$ принадлежит области значений функции, а сама функция является строго монотонной (каждое свое значение она принимает только один раз). В этом случае уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, то корней нет; если $a \ge 0$, то один корень.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 18.11 расположенного на странице 156 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.11 (с. 156), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.