Номер 18.14, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.14, страница 156.

Условие.

18.14. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2x - 2\sqrt{x^2 - 1}} + \sqrt{x - 1};$

2) $\frac{\sqrt{x - 4\sqrt{x - 4} + 2}}{\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4} - 2}};$

3) $\sqrt{x + 2\sqrt{2x - 4}} - \sqrt{x - 2\sqrt{2x - 4}};$

4) $\sqrt{\frac{a+1}{4} + \frac{\sqrt{a}}{2}} + \sqrt{\frac{a+1}{4} - \frac{\sqrt{a}}{2}}.$

Решение.

1)

Рассмотрим выражение $\sqrt{2x - 2\sqrt{x^2-1}} + \sqrt{x-1}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Из-под корня $\sqrt{x-1}$ следует, что $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Из-под корня $\sqrt{x^2-1}$ следует, что $x^2-1 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 1$ или $x \le -1$.
Объединяя условия, получаем $x \ge 1$.
Также необходимо, чтобы подкоренное выражение первого слагаемого было неотрицательным: $2x - 2\sqrt{x^2-1} \ge 0 \implies x \ge \sqrt{x^2-1}$. Так как при $x \ge 1$ обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат: $x^2 \ge x^2-1$, что упрощается до $0 \ge -1$. Это неравенство верно всегда. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.
Теперь упростим первое слагаемое $\sqrt{2x - 2\sqrt{x^2-1}}$. Попробуем представить подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$.
$2x - 2\sqrt{x^2-1} = 2x - 2\sqrt{(x-1)(x+1)}$.
Пусть $a = x+1$ и $b = x-1$. Тогда $a+b = (x+1)+(x-1) = 2x$ и $ab = (x+1)(x-1) = x^2-1$.
Следовательно, $2x - 2\sqrt{x^2-1} = (x+1) + (x-1) - 2\sqrt{(x+1)(x-1)} = (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})^2$.
Тогда $\sqrt{2x - 2\sqrt{x^2-1}} = \sqrt{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1})^2} = |\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}|$.
Поскольку при $x \ge 1$ выполняется $x+1 > x-1$, то $\sqrt{x+1} > \sqrt{x-1}$, и значит $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} > 0$.
Поэтому $|\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}| = \sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) + \sqrt{x-1} = \sqrt{x+1}$.
Ответ: $\sqrt{x+1}$

2)

Примечание: Вероятно, в условии задачи $\frac{\sqrt{x - 4\sqrt{x-4} + 2}}{\sqrt{x + 4\sqrt{x-4} - 2}}$ допущена опечатка. В таких задачах подкоренные выражения обычно являются полными квадратами. Наиболее вероятное исправленное условие, соответствующее стандартным задачам такого типа, — это $\frac{\sqrt{x - 4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{x + 4\sqrt{x-4}}}$. Решим его.
ОДЗ: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
Рассмотрим числитель: $\sqrt{x - 4\sqrt{x-4}}$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата.
$x - 4\sqrt{x-4} = (x-4) - 4\sqrt{x-4} + 4 = (\sqrt{x-4})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-4} + 2^2 = (\sqrt{x-4} - 2)^2$.
Тогда числитель равен $\sqrt{(\sqrt{x-4} - 2)^2} = |\sqrt{x-4} - 2|$.
Рассмотрим знаменатель: $\sqrt{x + 4\sqrt{x-4}}$.
$x + 4\sqrt{x-4} = (x-4) + 4\sqrt{x-4} + 4 = (\sqrt{x-4})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-4} + 2^2 = (\sqrt{x-4} + 2)^2$.
Тогда знаменатель равен $\sqrt{(\sqrt{x-4} + 2)^2} = |\sqrt{x-4} + 2|$. Так как $\sqrt{x-4} \ge 0$, то $\sqrt{x-4}+2 > 0$, поэтому $|\sqrt{x-4} + 2| = \sqrt{x-4} + 2$.
Выражение принимает вид: $\frac{|\sqrt{x-4} - 2|}{\sqrt{x-4} + 2}$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\sqrt{x-4} - 2 \ge 0 \implies \sqrt{x-4} \ge 2 \implies x-4 \ge 4 \implies x \ge 8$.
В этом случае выражение равно $\frac{\sqrt{x-4} - 2}{\sqrt{x-4} + 2}$.
Случай 2: $\sqrt{x-4} - 2 < 0$. Учитывая ОДЗ $x \ge 4$, получаем $4 \le x < 8$.
В этом случае выражение равно $\frac{-(\sqrt{x-4} - 2)}{\sqrt{x-4} + 2} = \frac{2 - \sqrt{x-4}}{2 + \sqrt{x-4}}$.
Ответ: $\begin{cases} \frac{\sqrt{x-4} - 2}{\sqrt{x-4} + 2} & \text{если } x \ge 8 \\ \frac{2 - \sqrt{x-4}}{2 + \sqrt{x-4}} & \text{если } 4 \le x < 8 \end{cases}$

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x + 2\sqrt{2x-4}} - \sqrt{x - 2\sqrt{2x-4}}$.
ОДЗ: $2x-4 \ge 0 \implies x \ge 2$. Также $x - 2\sqrt{2x-4} \ge 0 \implies x \ge 2\sqrt{2x-4} \implies x^2 \ge 4(2x-4) \implies x^2 - 8x + 16 \ge 0 \implies (x-4)^2 \ge 0$, что верно для любого $x$. Итак, ОДЗ: $x \ge 2$.
Упростим подкоренные выражения, представив их в виде полных квадратов $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a+b \pm 2\sqrt{ab}$.
Для выражения $x + 2\sqrt{2x-4}$ ищем числа $a$ и $b$ такие, что $a+b=x$ и $ab=2x-4$.
Из $ab=2(x-2)$ можно предположить, что $a=x-2$ и $b=2$. Проверим сумму: $a+b = (x-2)+2 = x$. Это верно.
Тогда $x + 2\sqrt{2x-4} = (\sqrt{x-2})^2 + 2\sqrt{x-2}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x-2} + \sqrt{2})^2$.
Аналогично, $x - 2\sqrt{2x-4} = (\sqrt{x-2} - \sqrt{2})^2$.
Исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{(\sqrt{x-2} + \sqrt{2})^2} - \sqrt{(\sqrt{x-2} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{x-2} + \sqrt{2}| - |\sqrt{x-2} - \sqrt{2}|$.
Поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $\sqrt{x-2}+\sqrt{2}>0$, и $|\sqrt{x-2} + \sqrt{2}| = \sqrt{x-2} + \sqrt{2}$.
Выражение становится $\sqrt{x-2} + \sqrt{2} - |\sqrt{x-2} - \sqrt{2}|$.
Рассмотрим два случая для раскрытия оставшегося модуля.
Случай 1: $\sqrt{x-2} - \sqrt{2} \ge 0 \implies \sqrt{x-2} \ge \sqrt{2} \implies x-2 \ge 2 \implies x \ge 4$.
Выражение равно $(\sqrt{x-2} + \sqrt{2}) - (\sqrt{x-2} - \sqrt{2}) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2} - \sqrt{x-2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Случай 2: $\sqrt{x-2} - \sqrt{2} < 0$. Учитывая ОДЗ $x \ge 2$, получаем $2 \le x < 4$.
Выражение равно $(\sqrt{x-2} + \sqrt{2}) - (-(\sqrt{x-2} - \sqrt{2})) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2} + \sqrt{x-2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{x-2}$.
Ответ: $\begin{cases} 2\sqrt{2} & \text{если } x \ge 4 \\ 2\sqrt{x-2} & \text{если } 2 \le x < 4 \end{cases}$

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a+1}{4} + \frac{\sqrt{a}}{2}} + \sqrt{\frac{a+1}{4} - \frac{\sqrt{a}}{2}}$.
ОДЗ: $a \ge 0$. Проверим, что подкоренные выражения неотрицательны.
Первое подкоренное выражение: $\frac{a+1}{4} + \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{a+1+2\sqrt{a}}{4} = \frac{(\sqrt{a}+1)^2}{4} = \left(\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right)^2$. Это выражение всегда неотрицательно.
Второе подкоренное выражение: $\frac{a+1}{4} - \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{a+1-2\sqrt{a}}{4} = \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{4} = \left(\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right)^2$. Это выражение также всегда неотрицательно.
Значит, ОДЗ: $a \ge 0$.
Подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:
$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right)^2} = \left|\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right| + \left|\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right|$.
Так как при $a \ge 0$ имеем $\sqrt{a} \ge 0$, то $\sqrt{a}+1 > 0$, следовательно $\left|\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right| = \frac{\sqrt{a}+1}{2}$.
Выражение принимает вид $\frac{\sqrt{a}+1}{2} + \left|\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right|$.
Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.
Случай 1: $\sqrt{a}-1 \ge 0 \implies \sqrt{a} \ge 1 \implies a \ge 1$.
В этом случае $\left|\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right| = \frac{\sqrt{a}-1}{2}$.
Выражение равно $\frac{\sqrt{a}+1}{2} + \frac{\sqrt{a}-1}{2} = \frac{\sqrt{a}+1+\sqrt{a}-1}{2} = \frac{2\sqrt{a}}{2} = \sqrt{a}$.
Случай 2: $\sqrt{a}-1 < 0$. Учитывая ОДЗ $a \ge 0$, получаем $0 \le a < 1$.
В этом случае $\left|\frac{\sqrt{a}-1}{2}\right| = -\frac{\sqrt{a}-1}{2} = \frac{1-\sqrt{a}}{2}$.
Выражение равно $\frac{\sqrt{a}+1}{2} + \frac{1-\sqrt{a}}{2} = \frac{\sqrt{a}+1+1-\sqrt{a}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $\begin{cases} \sqrt{a} & \text{если } a \ge 1 \\ 1 & \text{если } 0 \le a < 1 \end{cases}$