Номер 18.16, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.16, страница 156.

Условие.

18.16. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} + \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 6;$

2) $\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} = 2.$

Решение.

1) $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} + \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 6$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$.

2. $x + 6 + 2\sqrt{x + 5} \ge 0$

3. $x + 6 - 2\sqrt{x + 5} \ge 0$

Заметим, что подкоренные выражения можно преобразовать, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение: $x + 6 + 2\sqrt{x + 5}$.

Представим $x+6$ как $(x+5) + 1$.

$x + 6 + 2\sqrt{x + 5} = (x+5) + 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+5})^2 + 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+5} + 1)^2$.

Это выражение всегда неотрицательно, так как является полным квадратом.

Рассмотрим второе подкоренное выражение: $x + 6 - 2\sqrt{x + 5}$.

$x + 6 - 2\sqrt{x + 5} = (x+5) - 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+5})^2 - 2\sqrt{x+5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+5} - 1)^2$.

Это выражение также всегда неотрицательно. Таким образом, ОДЗ определяется только условием $x \ge -5$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x+5} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+5} - 1)^2} = 6$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sqrt{x+5} + 1| + |\sqrt{x+5} - 1| = 6$.

Поскольку $\sqrt{x+5} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ, то $\sqrt{x+5} + 1 > 0$. Следовательно, $|\sqrt{x+5} + 1| = \sqrt{x+5} + 1$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x+5} + 1 + |\sqrt{x+5} - 1| = 6$.

Теперь нужно раскрыть второй модуль. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x+5} - 1 \ge 0$.

$\sqrt{x+5} \ge 1 \implies x+5 \ge 1 \implies x \ge -4$.

В этом случае $|\sqrt{x+5} - 1| = \sqrt{x+5} - 1$.

Уравнение становится:

$(\sqrt{x+5} + 1) + (\sqrt{x+5} - 1) = 6$

$2\sqrt{x+5} = 6$

$\sqrt{x+5} = 3$

Возводим обе части в квадрат:

$x+5 = 9$

$x = 4$.

Проверяем, удовлетворяет ли корень $x=4$ условию случая $x \ge -4$. Да, $4 \ge -4$. Также он удовлетворяет ОДЗ $x \ge -5$. Значит, $x=4$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{x+5} - 1 < 0$.

$\sqrt{x+5} < 1 \implies 0 \le x+5 < 1 \implies -5 \le x < -4$.

В этом случае $|\sqrt{x+5} - 1| = -(\sqrt{x+5} - 1) = 1 - \sqrt{x+5}$.

Уравнение становится:

$(\sqrt{x+5} + 1) + (1 - \sqrt{x+5}) = 6$

$2 = 6$.

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 2 - 2\sqrt{x + 1}} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Преобразуем выражения под внешними корнями, используя формулы сокращенного умножения, как и в предыдущем примере.

Первое подкоренное выражение:

$x + 2 + 2\sqrt{x + 1} = (x+1) + 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+1} + 1)^2$.

Второе подкоренное выражение:

$x + 2 - 2\sqrt{x + 1} = (x+1) - 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{x+1})^2 - 2\sqrt{x+1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+1} - 1)^2$.

Поскольку оба выражения являются полными квадратами, они всегда неотрицательны. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge -1$.

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x+1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+1} - 1)^2} = 2$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$|\sqrt{x+1} + 1| + |\sqrt{x+1} - 1| = 2$.

Выражение $\sqrt{x+1} + 1$ всегда положительно при $x \ge -1$, поэтому $|\sqrt{x+1} + 1| = \sqrt{x+1} + 1$.

Уравнение упрощается до:

$\sqrt{x+1} + 1 + |\sqrt{x+1} - 1| = 2$.

Раскроем оставшийся модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\sqrt{x+1} - 1 \ge 0$.

$\sqrt{x+1} \ge 1 \implies x+1 \ge 1 \implies x \ge 0$.

В этом случае $|\sqrt{x+1} - 1| = \sqrt{x+1} - 1$.

Уравнение принимает вид:

$(\sqrt{x+1} + 1) + (\sqrt{x+1} - 1) = 2$

$2\sqrt{x+1} = 2$

$\sqrt{x+1} = 1$

$x+1 = 1$

$x = 0$.

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому является решением.

Случай 2: $\sqrt{x+1} - 1 < 0$.

$\sqrt{x+1} < 1 \implies 0 \le x+1 < 1 \implies -1 \le x < 0$.

В этом случае $|\sqrt{x+1} - 1| = -(\sqrt{x+1} - 1) = 1 - \sqrt{x+1}$.

Уравнение принимает вид:

$(\sqrt{x+1} + 1) + (1 - \sqrt{x+1}) = 2$

$2 = 2$.

Это тождество, верное для всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все значения $x$ из промежутка $[-1, 0)$ являются решениями уравнения.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решениями уравнения являются все $x$ из промежутка $[-1, 0)$ и точка $x=0$.

Таким образом, решением является отрезок $[-1, 0]$.

Ответ: $[-1; 0]$.