Номер 18.4, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.4, страница 156.

Условие.

18.4. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = x;$

2) $\sqrt{x} = x^2;$

3) $\sqrt{x} = x + 2.$

Решение.

1) $\sqrt{x} = x$

Чтобы решить данное уравнение графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = x$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2$, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Для построения возьмем несколько точек: (0; 0), (1; 1), (4; 2).

График функции $y = x$ — это прямая, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0; 0) и (1; 1).

Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках: O(0; 0) и A(1; 1). Абсциссы этих точек равны $x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: 0; 1.

2) $\sqrt{x} = x^2$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$. Абсциссы точек их пересечения будут являться корнями уравнения.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2).

График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Так как область определения функции $y = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, нас интересует только правая ветвь параболы $y = x^2$. Она проходит через точки (0; 0), (1; 1), (2; 4).

При построении графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек — (0; 0) и (1; 1). Следовательно, абсциссы точек пересечения, а значит и решения уравнения, это $x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: 0; 1.

3) $\sqrt{x} = x + 2$

Рассмотрим две функции: $y = \sqrt{x}$ и $y = x + 2$. Построим их графики в одной системе координат. Решениями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, выходящая из начала координат. Область определения $x \ge 0$.

График функции $y = x + 2$ — прямая, которую можно построить по двум точкам, например, (-2; 0) и (0; 2).

Построив графики, мы видим, что они не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Это означает, что у данного уравнения нет действительных корней. Для проверки можно решить уравнение аналитически. Возведя обе части в квадрат (при условии $x+2 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$), получим: $x = (x+2)^2 \Rightarrow x = x^2 + 4x + 4 \Rightarrow x^2 + 3x + 4 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, что подтверждает графическое решение.

Ответ: нет корней.