Номер 17.31, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.31, страница 148.

Условие.

17.31. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^{19}}$;

2) $\sqrt{48(x-1)^7}$;

3) $\sqrt{a^{23}b^{24}}$, если $b \ne 0$;

4) $\sqrt{49a^2b}$, если $a < 0$;

5) $\sqrt{a^9b^9}$;

6) $\sqrt{27x^{15}y^{34}}$, если $y < 0$;

7) $\sqrt{-8c^6p^7}$, если $c > 0$;

8) $\sqrt{a^9(b+2)^8}$, если $b \ne -2$;

9) $\sqrt{-x^3(y-3)^{12}}$, если $y \ne 3$.

Решение.

1) Для того чтобы выражение $ \sqrt{-m^{19}} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ -m^{19} \ge 0 $, что равносильно $ m^{19} \le 0 $, а значит $ m \le 0 $.
Представим $ m^{19} $ как $ m^{18} \cdot m $. Тогда:
$ \sqrt{-m^{19}} = \sqrt{-m \cdot m^{18}} = \sqrt{(-m) \cdot (m^9)^2} = |m^9| \sqrt{-m} $.
Поскольку $ m \le 0 $, то $ m^9 \le 0 $, и, следовательно, $ |m^9| = -m^9 $.
Таким образом, получаем $ -m^9 \sqrt{-m} $.
Ответ: $ -m^9 \sqrt{-m} $

2) Для того чтобы выражение $ \sqrt{48(x-1)^7} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 48(x-1)^7 \ge 0 $, что означает $ (x-1)^7 \ge 0 $, а значит $ x-1 \ge 0 $, или $ x \ge 1 $.
Разложим множители под корнем: $ 48 = 16 \cdot 3 $, а $ (x-1)^7 = (x-1)^6 \cdot (x-1) $.
$ \sqrt{48(x-1)^7} = \sqrt{16 \cdot 3 \cdot (x-1)^6 \cdot (x-1)} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{(x-1)^6} \cdot \sqrt{3(x-1)} $.
$ = 4 \cdot \sqrt{((x-1)^3)^2} \cdot \sqrt{3(x-1)} = 4 |(x-1)^3| \sqrt{3(x-1)} $.
Так как $ x \ge 1 $, то $ x-1 \ge 0 $, и $ (x-1)^3 \ge 0 $. Следовательно, $ |(x-1)^3| = (x-1)^3 $.
Окончательно получаем $ 4(x-1)^3 \sqrt{3(x-1)} $.
Ответ: $ 4(x-1)^3 \sqrt{3(x-1)} $

3) Для того чтобы выражение $ \sqrt{a^{23}b^{24}} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ a^{23}b^{24} \ge 0 $. Поскольку $ b^{24} \ge 0 $ (и $ b \ne 0 $ по условию), это неравенство выполняется при $ a^{23} \ge 0 $, то есть при $ a \ge 0 $.
Представим степени в виде произведения: $ a^{23} = a^{22} \cdot a $ и $ b^{24} = (b^{12})^2 $.
$ \sqrt{a^{23}b^{24}} = \sqrt{a^{22} \cdot b^{24} \cdot a} = \sqrt{(a^{11})^2 \cdot (b^{12})^2 \cdot a} = \sqrt{(a^{11})^2} \cdot \sqrt{(b^{12})^2} \cdot \sqrt{a} $.
$ = |a^{11}| \cdot |b^{12}| \cdot \sqrt{a} $.
Так как $ a \ge 0 $, то $ a^{11} \ge 0 $, и $ |a^{11}| = a^{11} $. Выражение $ b^{12} $ всегда неотрицательно, поэтому $ |b^{12}| = b^{12} $.
Результат: $ a^{11}b^{12}\sqrt{a} $.
Ответ: $ a^{11}b^{12}\sqrt{a} $

4) Для того чтобы выражение $ \sqrt{49a^2b} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ 49a^2b \ge 0 $. Так как $ 49a^2 \ge 0 $, это условие выполняется при $ b \ge 0 $.
Выносим множители:
$ \sqrt{49a^2b} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = 7 \cdot |a| \cdot \sqrt{b} $.
По условию $ a < 0 $, следовательно, $ |a| = -a $.
Подставляем и получаем: $ 7(-a)\sqrt{b} = -7a\sqrt{b} $.
Ответ: $ -7a\sqrt{b} $

5) Для того чтобы выражение $ \sqrt{a^9b^9} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ a^9b^9 \ge 0 $, или $ (ab)^9 \ge 0 $, что означает $ ab \ge 0 $.
Представим $ a^9b^9 $ как $ (ab)^9 = (ab)^8 \cdot (ab) $.
$ \sqrt{a^9b^9} = \sqrt{(ab)^8 \cdot ab} = \sqrt{((ab)^4)^2 \cdot ab} = |(ab)^4| \sqrt{ab} $.
Так как степень 4 четная, выражение $ (ab)^4 $ всегда неотрицательно, поэтому $ |(ab)^4| = (ab)^4 = a^4b^4 $.
Результат: $ a^4b^4\sqrt{ab} $.
Ответ: $ a^4b^4\sqrt{ab} $

6) Выражение $ \sqrt[3]{27x^{15}y^{34}} $ является кубическим корнем, который определен для любых действительных значений переменных. Условие $ y < 0 $ не влияет на процесс вынесения множителя.
Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся кубами: $ 27 = 3^3 $, $ x^{15} = (x^5)^3 $, $ y^{34} = y^{33} \cdot y = (y^{11})^3 \cdot y $.
Получаем:
$ \sqrt[3]{27x^{15}y^{34}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot (x^5)^3 \cdot (y^{11})^3 \cdot y} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{(x^5)^3} \cdot \sqrt[3]{(y^{11})^3} \cdot \sqrt[3]{y} $.
Так как $ \sqrt[3]{z^3} = z $, то: $ 3x^5y^{11}\sqrt[3]{y} $.
Ответ: $ 3x^5y^{11}\sqrt[3]{y} $

7) Выражение $ \sqrt[3]{-8c^6p^7} $ является кубическим корнем, который определен для любых действительных значений переменных. Условие $ c > 0 $ не влияет на результат.
Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся кубами: $ -8 = (-2)^3 $, $ c^6 = (c^2)^3 $, $ p^7 = p^6 \cdot p = (p^2)^3 \cdot p $.
Получаем:
$ \sqrt[3]{-8c^6p^7} = \sqrt[3]{(-2)^3 \cdot (c^2)^3 \cdot (p^2)^3 \cdot p} = \sqrt[3]{(-2)^3} \cdot \sqrt[3]{(c^2)^3} \cdot \sqrt[3]{(p^2)^3} \cdot \sqrt[3]{p} $.
$ = -2 \cdot c^2 \cdot p^2 \cdot \sqrt[3]{p} = -2c^2p^2\sqrt[3]{p} $.
Ответ: $ -2c^2p^2\sqrt[3]{p} $

8) Для того чтобы выражение $ \sqrt{a^9(b+2)^8} $ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ a^9(b+2)^8 \ge 0 $. Поскольку $ (b+2)^8 \ge 0 $ (и $ b \ne -2 $ по условию), это неравенство выполняется при $ a^9 \ge 0 $, то есть при $ a \ge 0 $.
Представим степени как произведения: $ a^9 = a^8 \cdot a $.
$ \sqrt{a^9(b+2)^8} = \sqrt{a^8 \cdot (b+2)^8 \cdot a} = \sqrt{(a^4)^2 \cdot ((b+2)^4)^2 \cdot a} $.
$ = \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{((b+2)^4)^2} \cdot \sqrt{a} = |a^4| \cdot |(b+2)^4| \cdot \sqrt{a} $.
Так как степени 4 четные, выражения $ a^4 $ и $ (b+2)^4 $ всегда неотрицательны, поэтому модули можно опустить.
Результат: $ a^4(b+2)^4\sqrt{a} $.
Ответ: $ a^4(b+2)^4\sqrt{a} $

9) Выражение $ \sqrt[3]{-x^3(y-3)^{12}} $ является кубическим корнем, который определен для любых действительных значений переменных.
Разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся кубами: $ -x^3 = (-x)^3 $, $ (y-3)^{12} = ((y-3)^4)^3 $.
Получаем:
$ \sqrt[3]{-x^3(y-3)^{12}} = \sqrt[3]{(-x)^3 \cdot ((y-3)^4)^3} = \sqrt[3]{(-x)^3} \cdot \sqrt[3]{((y-3)^4)^3} $.
$ = -x \cdot (y-3)^4 = -x(y-3)^4 $.
Ответ: $ -x(y-3)^4 $