Номер 17.30, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.30, страница 147.

Условие.

17.30. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^9}$;

2) $\sqrt{96(a-3)^5}$;

3) $\sqrt{a^4b^{13}}$, если $a \ne 0$;

4) $\sqrt{4x^6y}$, если $x < 0$;

5) $\sqrt{(a+1)^6(a^2+1)^5}$, если $a \le -1$;

6) $\sqrt{m^7n^7}$, если $m \le 0, n \le 0$;

7) $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если $y < 0$;

8) $\sqrt{64a^2b^9}$, если $a > 0$;

9) $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$, если $b < 0$;

10) $\sqrt{-m^2p^{15}}$, если $m > 0$;

11) $\sqrt{x^5(y-1)^4}$, если $y \ne 1$;

12) $\sqrt{-y^7(x+2)^8}$, если $x \ne -2$.

Решение.

1) Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^9 \ge 0$, что означает $m^9 \le 0$, и, следовательно, $m \le 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{-m^9} = \sqrt{m^8 \cdot (-m)} = \sqrt{(m^4)^2 \cdot (-m)}$. Вынесем множитель из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Получаем $|m^4|\sqrt{-m}$. Так как $m^4$ всегда неотрицательно ($m^4 \ge 0$), то $|m^4| = m^4$.

Ответ: $m^4\sqrt{-m}$

2) Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $96(a-3)^5 \ge 0$. Так как $96 > 0$, то $(a-3)^5 \ge 0$, откуда $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{96(a-3)^5} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot (a-3)^4 \cdot (a-3)} = \sqrt{4^2 \cdot ((a-3)^2)^2 \cdot 6(a-3)}$. Выносим множители: $|4| \cdot |(a-3)^2| \sqrt{6(a-3)}$. Так как $(a-3)^2 \ge 0$, то $|(a-3)^2| = (a-3)^2$.

Ответ: $4(a-3)^2\sqrt{6(a-3)}$

3) Область определения корня: $a^4b^{13} \ge 0$. Так как по условию $a \ne 0$, то $a^4 > 0$. Следовательно, $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$. Упростим выражение: $\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b}$. Выносим множители: $|a^2| \cdot |b^6| \sqrt{b}$. Поскольку $a^2 \ge 0$ и $b^6 \ge 0$, модули можно опустить.

Ответ: $a^2b^6\sqrt{b}$

4) Область определения: $4x^6y \ge 0$. Так как $x < 0$, то $x^6 > 0$. Значит, $y \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{4x^6y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y}$. Выносим множители: $|2| \cdot |x^3| \sqrt{y}$. По условию $x < 0$, следовательно, $x^3 < 0$, и $|x^3| = -x^3$.

Ответ: $-2x^3\sqrt{y}$

5) Упростим выражение: $\sqrt{(a+1)^6 (a^2+1)^5} = \sqrt{((a+1)^3)^2 \cdot (a^2+1)^4 \cdot (a^2+1)} = \sqrt{((a+1)^3)^2 \cdot ((a^2+1)^2)^2 \cdot (a^2+1)}$. Выносим множители: $|(a+1)^3| \cdot |(a^2+1)^2| \sqrt{a^2+1}$. Выражение $(a^2+1)^2$ всегда положительно, поэтому $|(a^2+1)^2| = (a^2+1)^2$. По условию $a \le -1$, значит $a+1 \le 0$, и $(a+1)^3 \le 0$. Следовательно, $|(a+1)^3| = -(a+1)^3$.

Ответ: $-(a+1)^3(a^2+1)^2\sqrt{a^2+1}$

6) Область определения: $m^7n^7 = (mn)^7 \ge 0$, откуда $mn \ge 0$. Условие $m \le 0, n \le 0$ удовлетворяет этому требованию. Преобразуем: $\sqrt{m^7n^7} = \sqrt{m^6n^6 \cdot mn} = \sqrt{(m^3n^3)^2 \cdot mn} = |m^3n^3|\sqrt{mn}$. Так как $mn \ge 0$, то $m^3n^3 = (mn)^3 \ge 0$, поэтому $|m^3n^3| = m^3n^3$.

Ответ: $m^3n^3\sqrt{mn}$

7) Область определения: $45x^3y^{14} \ge 0$. По условию $y < 0$, значит $y^{14} > 0$. Следовательно, $45x^3 \ge 0$, откуда $x^3 \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Преобразуем выражение: $\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x \cdot (y^7)^2} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2 \cdot 5x}$. Выносим множители: $|3| \cdot |x| \cdot |y^7| \sqrt{5x}$. Так как $x \ge 0$, то $|x|=x$. Так как $y < 0$, то $y^7 < 0$ и $|y^7| = -y^7$.

Ответ: $-3xy^7\sqrt{5x}$

8) Область определения: $64a^2b^9 \ge 0$. По условию $a>0$, значит $a^2>0$. Следовательно, $b^9 \ge 0$, то есть $b \ge 0$. Преобразуем: $\sqrt{64a^2b^9} = \sqrt{8^2 \cdot a^2 \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt{8^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 \cdot b}$. Выносим множители: $|8| \cdot |a| \cdot |b^4| \sqrt{b}$. Так как $a>0$, $|a|=a$. Выражение $b^4$ всегда неотрицательно, $|b^4|=b^4$.

Ответ: $8ab^4\sqrt{b}$

9) Область определения: $242m^{11}b^{18} \ge 0$. По условию $b < 0$, значит $b^{18} > 0$. Следовательно, $242m^{11} \ge 0$, откуда $m^{11} \ge 0$, то есть $m \ge 0$. Преобразуем: $\sqrt{242m^{11}b^{18}} = \sqrt{121 \cdot 2 \cdot m^{10} \cdot m \cdot b^{18}} = \sqrt{11^2 \cdot (m^5)^2 \cdot (b^9)^2 \cdot 2m}$. Выносим множители: $|11| \cdot |m^5| \cdot |b^9| \sqrt{2m}$. Так как $m \ge 0$, то $m^5 \ge 0$ и $|m^5| = m^5$. Так как $b < 0$, то $b^9 < 0$ и $|b^9| = -b^9$.

Ответ: $-11m^5b^9\sqrt{2m}$

10) Область определения: $-m^2p^{15} \ge 0$. По условию $m>0$, значит $-m^2 < 0$. Следовательно, $p^{15} \le 0$, то есть $p \le 0$. Преобразуем: $\sqrt{-m^2p^{15}} = \sqrt{m^2 \cdot p^{14} \cdot (-p)} = \sqrt{m^2 \cdot (p^7)^2 \cdot (-p)}$. Выносим множители: $|m| \cdot |p^7| \sqrt{-p}$. Так как $m>0$, $|m|=m$. Так как $p \le 0$, то $p^7 \le 0$ и $|p^7| = -p^7$.

Ответ: $-mp^7\sqrt{-p}$

11) Область определения: $x^5(y-1)^4 \ge 0$. По условию $y \ne 1$, значит $(y-1)^4 > 0$. Следовательно, $x^5 \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Преобразуем: $\sqrt{x^5(y-1)^4} = \sqrt{x^4 \cdot x \cdot ((y-1)^2)^2} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot ((y-1)^2)^2 \cdot x}$. Выносим множители: $|x^2| \cdot |(y-1)^2| \sqrt{x}$. Так как $x^2 \ge 0$ и $(y-1)^2 > 0$, модули можно опустить.

Ответ: $x^2(y-1)^2\sqrt{x}$

12) Область определения: $-y^7(x+2)^8 \ge 0$. По условию $x \ne -2$, значит $(x+2)^8 > 0$. Следовательно, $-y^7 \ge 0$, откуда $y^7 \le 0$, то есть $y \le 0$. Преобразуем: $\sqrt{-y^7(x+2)^8} = \sqrt{y^6 \cdot (-y) \cdot (x+2)^8} = \sqrt{(y^3)^2 \cdot ((x+2)^4)^2 \cdot (-y)}$. Выносим множители: $|y^3| \cdot |(x+2)^4| \sqrt{-y}$. Так как $y \le 0$, то $y^3 \le 0$ и $|y^3| = -y^3$. Выражение $(x+2)^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|(x+2)^4| = (x+2)^4$.

Ответ: $-y^3(x+2)^4\sqrt{-y}$