Номер 17.29, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.29, страница 147.

Условие.

17.29. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}}$

2) $\frac{\sqrt{a}+1}{a-\sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{ab}-b}$

3) $\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y}-6}$

4) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \left( \frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} \right)$

5) $\left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{x-1} \right) \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

6) $\frac{a-64}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{a+8\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}+8}{a-3\sqrt{a}}$

Решение.

1) Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)$:
$\frac{\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}+1} - \frac{\sqrt{a}-4}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a}-3)\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} - \frac{(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{a-3\sqrt{a} - (a+\sqrt{a}-4\sqrt{a}-4)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{a-3\sqrt{a} - (a-3\sqrt{a}-4)}{a+\sqrt{a}} = \frac{a-3\sqrt{a}-a+3\sqrt{a}+4}{a+\sqrt{a}} = \frac{4}{a+\sqrt{a}}$
Ответ: $\frac{4}{a+\sqrt{a}}$.

2) Разложим знаменатели на множители:
$a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
$\sqrt{ab}-b = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$
Выражение примет вид:
$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}+1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}+1) - \sqrt{a}(\sqrt{b}+1)}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{b}-\sqrt{ab}-\sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{-(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = -\frac{1}{\sqrt{ab}}$
Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{ab}}$.

3) Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} : \frac{\sqrt{x}}{3\sqrt{y}-6} = \frac{\sqrt{x}}{y-2\sqrt{y}} \cdot \frac{3\sqrt{y}-6}{\sqrt{x}}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y}-2)} \cdot \frac{3(\sqrt{y}-2)}{\sqrt{x}}$
Сократим одинаковые множители $\sqrt{x}$ и $(\sqrt{y}-2)$:
$\frac{3}{\sqrt{y}}$
Ответ: $\frac{3}{\sqrt{y}}$.

4) Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:
$\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n}) + \sqrt{n}\cdot\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{m-n+n}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}$
Теперь выполним деление:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \frac{m}{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{m}$
Сократим $(\sqrt{m}-\sqrt{n})$:
$\frac{\sqrt{m}\sqrt{n}}{m} = \frac{\sqrt{mn}}{m}$
Ответ: $\frac{\sqrt{mn}}{m}$.

5) Упростим выражение в скобках. Заметим, что $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$. Общий знаменатель $x-1$:
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{(\sqrt{x}+1)^2 - 4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{x+2\sqrt{x}+1-4\sqrt{x}}{x-1} = \frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$
Вынесем $\sqrt{x}$ в числителе второй дроби: $x+\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$.
$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}$
Сократим $(\sqrt{x}-1)$ и $(\sqrt{x}+1)$:
$\sqrt{x}$
Ответ: $\sqrt{x}$.

6) Сначала выполним умножение, разложив выражения на множители:
$\frac{a-64}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{a+8\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}+8)}{\sqrt{a}+3} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+8)} = \frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)}$
Теперь выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби: $a-3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-3)$.
$\frac{\sqrt{a}-8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)} - \frac{\sqrt{a}+8}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}$
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3) = \sqrt{a}(a-9)$:
$\frac{(\sqrt{a}-8)(\sqrt{a}-3) - (\sqrt{a}+8)(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{(a-3\sqrt{a}-8\sqrt{a}+24) - (a+3\sqrt{a}+8\sqrt{a}+24)}{\sqrt{a}(a-9)}$
$\frac{(a-11\sqrt{a}+24) - (a+11\sqrt{a}+24)}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{a-11\sqrt{a}+24-a-11\sqrt{a}-24}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{-22\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-9)} = \frac{-22}{a-9} = \frac{22}{9-a}$
Ответ: $\frac{22}{9-a}$.