Номер 17.28, страница 147 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.28, страница 147.

Условие.

17.28. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{y}+4}{\sqrt{xy}+y} - \frac{\sqrt{x}-4}{x+\sqrt{xy}};$

2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+4} - \frac{a}{a-16};$

3) $\frac{a}{\sqrt{ab}-b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{a}};$

4) $\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2\sqrt{a}+2};$

5) $\frac{\sqrt{c}-5}{\sqrt{c}} : \frac{c-25}{3c};$

6) $\left(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a}+1}\right) : \frac{\sqrt{a}}{a-1};$

7) $\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}};$

8) $\left(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3} + \frac{12\sqrt{x}}{x-9}\right) : \frac{\sqrt{x}+3}{x-3\sqrt{x}}.$

Решение.

1) $\frac{\sqrt{y} + 4}{\sqrt{xy} + y} - \frac{\sqrt{x} - 4}{x + \sqrt{xy}}$
Сначала упростим знаменатели дробей, вынеся общие множители за скобки:
$\sqrt{xy} + y = \sqrt{y}\sqrt{x} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
$x + \sqrt{xy} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Подставим упрощенные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{y} + 4}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$
Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$:
$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{y} + 4) - \sqrt{y}(\sqrt{x} - 4)}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{\sqrt{xy} + 4\sqrt{x} - \sqrt{xy} + 4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{4\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$
Вынесем в числителе 4 за скобки и сократим дробь:
$\frac{4(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{4}{\sqrt{xy}}$
Ответ: $\frac{4}{\sqrt{xy}}$.

2) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{a}{a - 16}$
Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $a - 16 = (\sqrt{a})^2 - 4^2 = (\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)$.
Выражение примет вид:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 4} - \frac{a}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)$:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 4) - a}{(\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)} = \frac{a - 4\sqrt{a} - a}{a - 16} = \frac{-4\sqrt{a}}{a - 16}$
Ответ: $\frac{-4\sqrt{a}}{a - 16}$.

3) $\frac{a}{\sqrt{ab} - b} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$
Упростим знаменатель первой дроби: $\sqrt{ab} - b = \sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$.
Знаменатель второй дроби можно представить как: $\sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})$.
$\frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:
$\frac{a - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{a - b}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ и сократим дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}}$.

4) $\frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2\sqrt{a} + 2}$
Вынесем общие множители: $a + \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)$ и $2\sqrt{a} + 2 = 2(\sqrt{a} + 1)$.
Подставим в выражение:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2(\sqrt{a} + 1)}$
Сократим на $(\sqrt{a} + 1)$:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{a} \cdot b}{2\sqrt{b}}$
Так как $b = (\sqrt{b})^2$, можем сократить на $\sqrt{b}$:
$\frac{\sqrt{a} \cdot (\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{2} = \frac{\sqrt{ab}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{2}$.

5) $\frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} : \frac{c - 25}{3c}$
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} \cdot \frac{3c}{c - 25}$
Разложим $c - 25$ по формуле разности квадратов: $c - 25 = (\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)$.
$\frac{\sqrt{c} - 5}{\sqrt{c}} \cdot \frac{3c}{(\sqrt{c} - 5)(\sqrt{c} + 5)}$
Сократим на $(\sqrt{c} - 5)$ и $\sqrt{c}$ (учитывая, что $c = (\sqrt{c})^2$):
$\frac{1}{1} \cdot \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c} + 5} = \frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c} + 5}$
Ответ: $\frac{3\sqrt{c}}{\sqrt{c} + 5}$.

6) $(\sqrt{a} - \frac{a}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{\sqrt{a}}{a - 1}$
Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) - a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a + \sqrt{a} - a}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}$
Теперь выполним деление:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} : \frac{\sqrt{a}}{a - 1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$
Разложим $a - 1 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)$ и сократим дроби:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \cdot \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} - 1$
Ответ: $\sqrt{a} - 1$.

7) $(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{a - b + b}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$
Выполним деление:
$\frac{a}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
Сократим на $\sqrt{b}$ и на $\sqrt{a}$ (так как $a = (\sqrt{a})^2$):
$\frac{(\sqrt{a})^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$.

8) $(\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} + \frac{12\sqrt{x}}{x - 9}) : \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 3\sqrt{x}}$
Упростим выражение в скобках. Разложим $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$ и приведем к общему знаменателю:
$\frac{(\sqrt{x} - 3)^2 + 12\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{x - 6\sqrt{x} + 9 + 12\sqrt{x}}{x - 9} = \frac{x + 6\sqrt{x} + 9}{x - 9}$
Числитель является полным квадратом: $x + 6\sqrt{x} + 9 = (\sqrt{x} + 3)^2$.
$\frac{(\sqrt{x} + 3)^2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$
Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{x - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$
Вынесем $\sqrt{x}$ в числителе второй дроби: $x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)$.
$\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 3}$
Сократив одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим:
$\sqrt{x}$
Ответ: $\sqrt{x}$.