Номер 16.39, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-09-087881-4

Популярные ГДЗ в 8 классе

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.39, страница 141.

№16.39 (с. 141)
Условие. №16.39 (с. 141)
скриншот условия
Алгебра, 8 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Просвещение, Москва, 2014, розового цвета, страница 141, номер 16.39, Условие

16.39. Найдите все двузначные натуральные числа, любая натуральная степень которых оканчивается двумя цифрами, образующими это двузначное число.

Решение. №16.39 (с. 141)

Пусть искомое двузначное натуральное число равно $N$. По условию задачи, любая натуральная степень числа $N$ оканчивается на те же две цифры, что и само число $N$. Это означает, что для любого натурального $k \ge 1$ число $N^k$ дает тот же остаток при делении на 100, что и число $N$. Математически это записывается в виде сравнения:

$N^k \equiv N \pmod{100}$ для всех $k \in \mathbb{N}$.

Это условие должно выполняться для всех натуральных $k$, в том числе и для $k=2$. Таким образом, должно выполняться сравнение:

$N^2 \equiv N \pmod{100}$

Покажем, что это условие является достаточным. Если $N^2 \equiv N \pmod{100}$, то умножая обе части сравнения на $N$, получаем $N^3 \equiv N^2 \pmod{100}$. Так как $N^2 \equiv N \pmod{100}$, то по свойству транзитивности $N^3 \equiv N \pmod{100}$. Продолжая этот процесс (методом математической индукции), можно доказать, что $N^k \equiv N \pmod{100}$ для любого $k \ge 1$.

Следовательно, задача сводится к нахождению всех двузначных натуральных чисел $N$, удовлетворяющих сравнению $N^2 \equiv N \pmod{100}$.

Перепишем сравнение:

$N^2 - N \equiv 0 \pmod{100}$
$N(N - 1) \equiv 0 \pmod{100}$

Это означает, что произведение двух последовательных натуральных чисел $N-1$ и $N$ должно делиться на 100. Разложим 100 на простые множители: $100 = 4 \cdot 25$. Так как 4 и 25 взаимно просты, то произведение $N(N-1)$ должно делиться и на 4, и на 25.

Рассмотрим делимость на 25. Числа $N$ и $N-1$ взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1). Поэтому одно из них должно быть кратно 25.

1) Либо $N$ кратно 25. Так как $N$ — двузначное число, то $N$ может быть равно 25, 50 или 75.
2) Либо $N-1$ кратно 25. Тогда $N-1$ может быть равно 0, 25, 50, 75, ... . Отсюда $N$ может быть равно 1, 26, 51, 76, ... . Так как $N$ — двузначное число, то $N$ может быть равно 26, 51 или 76.

Теперь рассмотрим делимость на 4. Числа $N$ и $N-1$ — последовательные, одно из них четное, а другое нечетное. Чтобы их произведение делилось на 4, четное число должно быть кратно 4.

Проверим все возможные значения $N$, которые мы нашли:

  • Если $N=25$: $N$ — нечетное. $N-1=24$. $24$ кратно 4. Значит, $N(N-1) = 25 \cdot 24 = 600$, что делится на 100. Число 25 подходит. Проверка: $25^2=625$, оканчивается на 25.
  • Если $N=50$: $N$ — четное, но $50$ не кратно 4 ($50 = 4 \cdot 12 + 2$). $N-1=49$ — нечетное. Значит, $N(N-1)$ не делится на 4. Число 50 не подходит.
  • Если $N=75$: $N$ — нечетное. $N-1=74$. $74$ не кратно 4 ($74 = 4 \cdot 18 + 2$). Число 75 не подходит.
  • Если $N=26$: $N$ — четное, но $26$ не кратно 4 ($26 = 4 \cdot 6 + 2$). $N-1=25$ — нечетное. Число 26 не подходит.
  • Если $N=51$: $N$ — нечетное. $N-1=50$. $50$ не кратно 4. Число 51 не подходит.
  • Если $N=76$: $N$ — четное. $76$ кратно 4 ($76=4 \cdot 19$). $N-1=75$ — нечетное. Значит, $N(N-1) = 76 \cdot 75 = 5700$, что делится на 100. Число 76 подходит. Проверка: $76^2=5776$, оканчивается на 76.

Таким образом, мы нашли два двузначных натуральных числа, удовлетворяющих условию.

Ответ: 25, 76.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 16.39 расположенного на странице 141 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.39 (с. 141), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.