Номер 16.39, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.39, страница 141.

Условие.

16.39. Найдите все двузначные натуральные числа, любая натуральная степень которых оканчивается двумя цифрами, образующими это двузначное число.

Решение.

Пусть искомое двузначное натуральное число равно $N$. По условию задачи, любая натуральная степень числа $N$ оканчивается на те же две цифры, что и само число $N$. Это означает, что для любого натурального $k \ge 1$ число $N^k$ дает тот же остаток при делении на 100, что и число $N$. Математически это записывается в виде сравнения:

$N^k \equiv N \pmod{100}$ для всех $k \in \mathbb{N}$.

Это условие должно выполняться для всех натуральных $k$, в том числе и для $k=2$. Таким образом, должно выполняться сравнение:

$N^2 \equiv N \pmod{100}$

Покажем, что это условие является достаточным. Если $N^2 \equiv N \pmod{100}$, то умножая обе части сравнения на $N$, получаем $N^3 \equiv N^2 \pmod{100}$. Так как $N^2 \equiv N \pmod{100}$, то по свойству транзитивности $N^3 \equiv N \pmod{100}$. Продолжая этот процесс (методом математической индукции), можно доказать, что $N^k \equiv N \pmod{100}$ для любого $k \ge 1$.

Следовательно, задача сводится к нахождению всех двузначных натуральных чисел $N$, удовлетворяющих сравнению $N^2 \equiv N \pmod{100}$.

Перепишем сравнение:

$N^2 - N \equiv 0 \pmod{100}$
$N(N - 1) \equiv 0 \pmod{100}$

Это означает, что произведение двух последовательных натуральных чисел $N-1$ и $N$ должно делиться на 100. Разложим 100 на простые множители: $100 = 4 \cdot 25$. Так как 4 и 25 взаимно просты, то произведение $N(N-1)$ должно делиться и на 4, и на 25.

Рассмотрим делимость на 25. Числа $N$ и $N-1$ взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1). Поэтому одно из них должно быть кратно 25.

1) Либо $N$ кратно 25. Так как $N$ — двузначное число, то $N$ может быть равно 25, 50 или 75.
2) Либо $N-1$ кратно 25. Тогда $N-1$ может быть равно 0, 25, 50, 75, ... . Отсюда $N$ может быть равно 1, 26, 51, 76, ... . Так как $N$ — двузначное число, то $N$ может быть равно 26, 51 или 76.

Теперь рассмотрим делимость на 4. Числа $N$ и $N-1$ — последовательные, одно из них четное, а другое нечетное. Чтобы их произведение делилось на 4, четное число должно быть кратно 4.

Проверим все возможные значения $N$, которые мы нашли:

• Если $N=25$: $N$ — нечетное. $N-1=24$. $24$ кратно 4. Значит, $N(N-1) = 25 \cdot 24 = 600$, что делится на 100. Число 25 подходит. Проверка: $25^2=625$, оканчивается на 25.
• Если $N=50$: $N$ — четное, но $50$ не кратно 4 ($50 = 4 \cdot 12 + 2$). $N-1=49$ — нечетное. Значит, $N(N-1)$ не делится на 4. Число 50 не подходит.
• Если $N=75$: $N$ — нечетное. $N-1=74$. $74$ не кратно 4 ($74 = 4 \cdot 18 + 2$). Число 75 не подходит.
• Если $N=26$: $N$ — четное, но $26$ не кратно 4 ($26 = 4 \cdot 6 + 2$). $N-1=25$ — нечетное. Число 26 не подходит.
• Если $N=51$: $N$ — нечетное. $N-1=50$. $50$ не кратно 4. Число 51 не подходит.
• Если $N=76$: $N$ — четное. $76$ кратно 4 ($76=4 \cdot 19$). $N-1=75$ — нечетное. Значит, $N(N-1) = 76 \cdot 75 = 5700$, что делится на 100. Число 76 подходит. Проверка: $76^2=5776$, оканчивается на 76.

Таким образом, мы нашли два двузначных натуральных числа, удовлетворяющих условию.

Ответ: 25, 76.