Номер 16.37, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.37, страница 140.

Условие.

16.37. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a^2 - 11a + 26 + \sqrt{1 - 2a + a^2}}$, если $a > 1$;

2) $\sqrt{7b^2 + 6b + \sqrt{4b^4 + 4b^2 + 1}}$.

Решение.

1) Рассмотрим данное выражение: $\sqrt{a^2 - 11a + 26 + \sqrt{1 - 2a + a^2}}$, при условии $a > 1$.

Сначала упростим выражение под внутренним корнем: $1 - 2a + a^2$. Это формула полного квадрата разности: $1 - 2a + a^2 = (a-1)^2$.

Тогда внутренний корень равен: $\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$.

По условию задачи $a > 1$, следовательно, разность $a-1$ положительна ($a-1 > 0$). Значит, модуль можно раскрыть со знаком плюс: $|a-1| = a-1$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sqrt{a^2 - 11a + 26 + (a-1)}$

Упростим выражение под внешним корнем, приведя подобные слагаемые:

$a^2 - 11a + a + 26 - 1 = a^2 - 10a + 25$

Полученное выражение также является полным квадратом разности:

$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$

Таким образом, исходное выражение сводится к:

$\sqrt{(a-5)^2} = |a-5|$

Поскольку условие $a > 1$ не позволяет однозначно определить знак выражения $a-5$ (например, если $a=2$, то $a-5 = -3 < 0$; если $a=6$, то $a-5 = 1 > 0$), конечный результат записывается с помощью модуля.

Ответ: $|a-5|$.

2) Рассмотрим выражение: $\sqrt{7b^2 + 6b + \sqrt{4b^4 + 4b^2 + 1}}$.

Упростим выражение под внутренним корнем: $4b^4 + 4b^2 + 1$. Это формула полного квадрата суммы:

$4b^4 + 4b^2 + 1 = (2b^2)^2 + 2 \cdot (2b^2) \cdot 1 + 1^2 = (2b^2 + 1)^2$.

Тогда внутренний корень равен: $\sqrt{(2b^2 + 1)^2} = |2b^2 + 1|$.

Поскольку $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, выражение $2b^2 + 1$ всегда положительно ($2b^2 + 1 \ge 1$). Следовательно, $|2b^2 + 1| = 2b^2 + 1$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\sqrt{7b^2 + 6b + (2b^2 + 1)}$

Упростим выражение под внешним корнем, приведя подобные слагаемые:

$7b^2 + 2b^2 + 6b + 1 = 9b^2 + 6b + 1$

Это выражение также является полным квадратом суммы:

$9b^2 + 6b + 1 = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot 1 + 1^2 = (3b+1)^2$

Таким образом, исходное выражение сводится к:

$\sqrt{(3b+1)^2} = |3b+1|$

В условии задачи нет ограничений на переменную $b$, поэтому мы не можем раскрыть модуль однозначно. Окончательный ответ остается с модулем.

Ответ: $|3b+1|$.