Номер 16.35, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.35, страница 140.

Условие.

16.35. Сократите дробь:

1) $\frac{a + \sqrt{ab}}{b + \sqrt{ab}}$, $a \ne 0$;

2) $\frac{b + \sqrt{ab}}{\sqrt{-b}}$;

3) $\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}.$

Решение.

1) $\frac{a + \sqrt{ab}}{b + \sqrt{ab}}$, $a \neq 0$

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $ab \ge 0$. Так как по условию $a \neq 0$, то и $b \neq 0$. Следовательно, переменные $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак. Также знаменатель не должен быть равен нулю: $b + \sqrt{ab} \neq 0$, что выполняется при $a \neq b$, если $a,b < 0$.

Для сокращения дроби можно применить несколько подходов. Один из наиболее общих — умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $b - \sqrt{ab}$.

$\frac{a + \sqrt{ab}}{b + \sqrt{ab}} = \frac{(a + \sqrt{ab})(b - \sqrt{ab})}{(b + \sqrt{ab})(b - \sqrt{ab})}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для знаменателя:

$\frac{ab - a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab} - (\sqrt{ab})^2}{b^2 - (\sqrt{ab})^2} = \frac{ab - a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab} - ab}{b^2 - ab}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{- a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{b^2 - ab} = \frac{\sqrt{ab}(b-a)}{b(b-a)}$

Если $b-a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(b-a)$:

$\frac{\sqrt{ab}}{b}$

Этот результат является верным как для случая $a, b > 0$, так и для случая $a, b < 0$ (при условии, что выражение определено).

Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{b}$

2) $\frac{b + \sqrt{ab}}{\sqrt{-b}}$

Определим область допустимых значений. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $-b > 0$, что означает $b < 0$. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $ab \ge 0$. Поскольку $b < 0$, это требует, чтобы $a \le 0$. Итак, выражение определено при $b < 0$ и $a \le 0$.

Преобразуем числитель $b + \sqrt{ab}$. Так как $b < 0$, мы можем записать $b$ через $\sqrt{-b}$ следующим образом: $b = -(-b) = -(\sqrt{-b})^2$.

Также преобразуем $\sqrt{ab}$. Поскольку $a \le 0$ и $b < 0$, то $-a \ge 0$ и $-b > 0$. Следовательно, $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\sqrt{-b}$.

Подставим преобразованные выражения в числитель:

$b + \sqrt{ab} = -(\sqrt{-b})^2 + \sqrt{-a}\sqrt{-b}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{-b}$ за скобки:

$\sqrt{-b}(-\sqrt{-b} + \sqrt{-a}) = \sqrt{-b}(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})$

Теперь вернемся к исходной дроби:

$\frac{\sqrt{-b}(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})}{\sqrt{-b}}$

Сократим дробь на $\sqrt{-b}$, так как $\sqrt{-b} \neq 0$:

$\sqrt{-a} - \sqrt{-b}$

Ответ: $\sqrt{-a} - \sqrt{-b}$

3) $\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}$

Определим область допустимых значений. Для существования корней $\sqrt{-a}$ и $\sqrt{-b}$ необходимо, чтобы $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$, то есть $a \le 0$ и $b \le 0$. Условие $ab \ge 0$ для $\sqrt{ab}$ при этом выполняется автоматически. Знаменатель не должен быть равен нулю, $\sqrt{-a} + \sqrt{-b} \neq 0$, что означает, что $a$ и $b$ не могут быть равны нулю одновременно.

Преобразуем числитель $a + b + 2\sqrt{ab}$, учитывая, что $a \le 0$ и $b \le 0$.

Представим $a$ и $b$ через квадратные корни:

$a = -(-a) = -(\sqrt{-a})^2$

$b = -(-b) = -(\sqrt{-b})^2$

Также $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\sqrt{-b}$.

Подставим эти выражения в числитель:

$a + b + 2\sqrt{ab} = -(\sqrt{-a})^2 - (\sqrt{-b})^2 + 2\sqrt{-a}\sqrt{-b}$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы получить узнаваемую формулу:

$- [(\sqrt{-a})^2 - 2\sqrt{-a}\sqrt{-b} + (\sqrt{-b})^2]$

Выражение в квадратных скобках является полным квадратом разности $(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2$.

Таким образом, числитель равен $-(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2$.

Подставим преобразованный числитель в дробь:

$\frac{-(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}$

Данное выражение не может быть сокращено далее, так как в числителе стоит квадрат разности, а в знаменателе — сумма тех же членов. Таким образом, это и есть упрощенная форма дроби.

Ответ: $\frac{-(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}$