Номер 16.35, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.35, страница 140.
№16.35 (с. 140)
Условие. №16.35 (с. 140)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        16.35. Сократите дробь:
1) $\frac{a + \sqrt{ab}}{b + \sqrt{ab}}$, $a \ne 0$;
2) $\frac{b + \sqrt{ab}}{\sqrt{-b}}$;
3) $\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}.$
Решение. №16.35 (с. 140)
1) $\frac{a + \sqrt{ab}}{b + \sqrt{ab}}$, $a \neq 0$
Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $ab \ge 0$. Так как по условию $a \neq 0$, то и $b \neq 0$. Следовательно, переменные $a$ и $b$ должны иметь одинаковый знак. Также знаменатель не должен быть равен нулю: $b + \sqrt{ab} \neq 0$, что выполняется при $a \neq b$, если $a,b < 0$.
Для сокращения дроби можно применить несколько подходов. Один из наиболее общих — умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $b - \sqrt{ab}$.
$\frac{a + \sqrt{ab}}{b + \sqrt{ab}} = \frac{(a + \sqrt{ab})(b - \sqrt{ab})}{(b + \sqrt{ab})(b - \sqrt{ab})}$
Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для знаменателя:
$\frac{ab - a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab} - (\sqrt{ab})^2}{b^2 - (\sqrt{ab})^2} = \frac{ab - a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab} - ab}{b^2 - ab}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{- a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{b^2 - ab} = \frac{\sqrt{ab}(b-a)}{b(b-a)}$
Если $b-a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $(b-a)$:
$\frac{\sqrt{ab}}{b}$
Этот результат является верным как для случая $a, b > 0$, так и для случая $a, b < 0$ (при условии, что выражение определено).
Ответ: $\frac{\sqrt{ab}}{b}$
2) $\frac{b + \sqrt{ab}}{\sqrt{-b}}$
Определим область допустимых значений. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $-b > 0$, что означает $b < 0$. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $ab \ge 0$. Поскольку $b < 0$, это требует, чтобы $a \le 0$. Итак, выражение определено при $b < 0$ и $a \le 0$.
Преобразуем числитель $b + \sqrt{ab}$. Так как $b < 0$, мы можем записать $b$ через $\sqrt{-b}$ следующим образом: $b = -(-b) = -(\sqrt{-b})^2$.
Также преобразуем $\sqrt{ab}$. Поскольку $a \le 0$ и $b < 0$, то $-a \ge 0$ и $-b > 0$. Следовательно, $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\sqrt{-b}$.
Подставим преобразованные выражения в числитель:
$b + \sqrt{ab} = -(\sqrt{-b})^2 + \sqrt{-a}\sqrt{-b}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{-b}$ за скобки:
$\sqrt{-b}(-\sqrt{-b} + \sqrt{-a}) = \sqrt{-b}(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})$
Теперь вернемся к исходной дроби:
$\frac{\sqrt{-b}(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})}{\sqrt{-b}}$
Сократим дробь на $\sqrt{-b}$, так как $\sqrt{-b} \neq 0$:
$\sqrt{-a} - \sqrt{-b}$
Ответ: $\sqrt{-a} - \sqrt{-b}$
3) $\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}$
Определим область допустимых значений. Для существования корней $\sqrt{-a}$ и $\sqrt{-b}$ необходимо, чтобы $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$, то есть $a \le 0$ и $b \le 0$. Условие $ab \ge 0$ для $\sqrt{ab}$ при этом выполняется автоматически. Знаменатель не должен быть равен нулю, $\sqrt{-a} + \sqrt{-b} \neq 0$, что означает, что $a$ и $b$ не могут быть равны нулю одновременно.
Преобразуем числитель $a + b + 2\sqrt{ab}$, учитывая, что $a \le 0$ и $b \le 0$.
Представим $a$ и $b$ через квадратные корни:
$a = -(-a) = -(\sqrt{-a})^2$
$b = -(-b) = -(\sqrt{-b})^2$
Также $\sqrt{ab} = \sqrt{(-a)(-b)} = \sqrt{-a}\sqrt{-b}$.
Подставим эти выражения в числитель:
$a + b + 2\sqrt{ab} = -(\sqrt{-a})^2 - (\sqrt{-b})^2 + 2\sqrt{-a}\sqrt{-b}$
Вынесем знак минус за скобки, чтобы получить узнаваемую формулу:
$- [(\sqrt{-a})^2 - 2\sqrt{-a}\sqrt{-b} + (\sqrt{-b})^2]$
Выражение в квадратных скобках является полным квадратом разности $(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2$.
Таким образом, числитель равен $-(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2$.
Подставим преобразованный числитель в дробь:
$\frac{-(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}$
Данное выражение не может быть сокращено далее, так как в числителе стоит квадрат разности, а в знаменателе — сумма тех же членов. Таким образом, это и есть упрощенная форма дроби.
Ответ: $\frac{-(\sqrt{-a} - \sqrt{-b})^2}{\sqrt{-a} + \sqrt{-b}}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 16.35 расположенного на странице 140 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №16.35 (с. 140), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    