Номер 16.36, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.36, страница 140.

Условие.

16.36. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a^2 - 2a + 1} + \sqrt{4a^2 - 12a + 9}$, если $a \le \frac{3}{2}$;

2) $\sqrt{b^2 + 9b + 17} - \sqrt{b^2 + 2b + 1}$, если $b \ge -1$;

3) $\sqrt{b^2 + 4b + \sqrt{9b^4 + 6b^2 + 1}}$.

Решение.

1)

Упростим выражение $\sqrt{a^2 - 2a + 1 + \sqrt{4a^2 - 12a + 9}}$, если $a \le \frac{3}{2}$.

Сначала преобразуем выражение под внутренним корнем. Оно представляет собой полный квадрат:

$4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a-3)^2$.

Следовательно, $\sqrt{4a^2 - 12a + 9} = \sqrt{(2a-3)^2} = |2a-3|$.

По условию $a \le \frac{3}{2}$. Умножим обе части неравенства на 2, получим $2a \le 3$, что эквивалентно $2a - 3 \le 0$.

Так как выражение под знаком модуля неположительно, модуль раскрывается со знаком минус: $|2a-3| = -(2a-3) = 3-2a$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{a^2 - 2a + 1 + (3-2a)} = \sqrt{a^2 - 4a + 4}$.

Выражение под оставшимся корнем также является полным квадратом:

$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Таким образом, выражение упрощается до $\sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$.

Из условия $a \le \frac{3}{2}$ (т.е. $a \le 1.5$) следует, что $a < 2$, а значит $a-2 < 0$.

Следовательно, $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.

Ответ: $2-a$.

2)

Упростим выражение $\sqrt{b^2 + 9b + 17 - \sqrt{b^2 + 2b + 1}}$, если $b \ge -1$.

Упростим выражение под внутренним корнем:

$\sqrt{b^2 + 2b + 1} = \sqrt{(b+1)^2} = |b+1|$.

По условию $b \ge -1$, следовательно $b+1 \ge 0$.

Значит, модуль раскрывается со знаком плюс: $|b+1| = b+1$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{b^2 + 9b + 17 - (b+1)} = \sqrt{b^2 + 9b + 17 - b - 1} = \sqrt{b^2 + 8b + 16}$.

Подкоренное выражение является полным квадратом:

$b^2 + 8b + 16 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b+4)^2$.

Получаем $\sqrt{(b+4)^2} = |b+4|$.

По условию $b \ge -1$. Тогда $b+4 \ge -1+4$, то есть $b+4 \ge 3$.

Так как выражение $b+4$ положительно, то $|b+4| = b+4$.

Ответ: $b+4$.

3)

Упростим выражение $\sqrt{b^2 + 4b + \sqrt{9b^4 + 6b^2 + 1}}$.

Преобразуем выражение под внутренним корнем, которое является полным квадратом:

$9b^4 + 6b^2 + 1 = (3b^2)^2 + 2 \cdot 3b^2 \cdot 1 + 1^2 = (3b^2 + 1)^2$.

Тогда $\sqrt{9b^4 + 6b^2 + 1} = \sqrt{(3b^2 + 1)^2} = |3b^2 + 1|$.

Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного $b$, то $3b^2 \ge 0$, и $3b^2 + 1 \ge 1$. Выражение $3b^2 + 1$ всегда положительно.

Следовательно, $|3b^2 + 1| = 3b^2 + 1$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{b^2 + 4b + (3b^2 + 1)} = \sqrt{4b^2 + 4b + 1}$.

Подкоренное выражение также является полным квадратом:

$4b^2 + 4b + 1 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b+1)^2$.

Получаем $\sqrt{(2b+1)^2} = |2b+1|$.

Так как нет дополнительных условий на переменную $b$, мы не можем раскрыть модуль, поскольку знак выражения $2b+1$ неизвестен.

Ответ: $|2b+1|$.