Номер 16.29, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.29, страница 140.

Условие.

16.29. Постройте график функции:

1) $y=\sqrt{(x-3)^2}$;

2) $y=\sqrt{(x-2)^2}-x$;

3) $y=\sqrt{(x+4)^2}-x-4.$

Решение.

1) $y = \sqrt{(x-3)^2}$

Для построения графика функции преобразуем данное выражение. Воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Таким образом, $y = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.

Это функция модуля. Раскроем модуль по определению:

$|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{если } x-3 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 3 \\ -(x-3), & \text{если } x-3 < 0, \text{ то есть } x < 3 \end{cases}$

Итак, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} x-3, & \text{при } x \ge 3 \\ -x+3, & \text{при } x < 3 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из одной точки.

1. Для $x \ge 3$ строим график прямой $y = x-3$. Это луч, начинающийся в точке с абсциссой $x=3$. Найдем координаты этой точки: $y = 3-3=0$. Точка начала луча — $(3, 0)$. Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=5$: $y=5-3=2$. Точка $(5, 2)$ принадлежит этому лучу.

2. Для $x < 3$ строим график прямой $y = -x+3$. Это луч, заканчивающийся в точке с абсциссой $x=3$. Координаты этой точки: $y = -3+3=0$, то есть $(3, 0)$. Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=0$: $y=-0+3=3$. Точка $(0, 3)$ принадлежит этому лучу.

График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(3, 0)$. Ветви направлены вверх. Этот график получается из графика функции $y=|x|$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x-3|$, который представляет собой два луча, выходящих из точки $(3, 0)$: луч $y = x-3$ для $x \ge 3$ и луч $y = -x+3$ для $x < 3$.

2) $y = \sqrt{(x-2)^2} - x$

Сначала упростим выражение, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:

$y = |x-2| - x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x-2| = x-2$.

Функция принимает вид: $y = (x-2) - x = -2$.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

Функция принимает вид: $y = (-x+2) - x = -2x+2$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} -2, & \text{при } x \ge 2 \\ -2x+2, & \text{при } x < 2 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

1. При $x \ge 2$ график представляет собой горизонтальный луч $y = -2$, начинающийся в точке $(2, -2)$.

2. При $x < 2$ график является лучом прямой $y = -2x+2$. Этот луч заканчивается в точке с абсциссой $x=2$. Найдем ординату: $y = -2(2)+2 = -4+2 = -2$. Точка $(2, -2)$ является общей для обоих лучей. Для построения этого луча найдем еще одну точку, например, при $x=0$: $y=-2(0)+2=2$. Точка $(0, 2)$ принадлежит этому лучу.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединенных в точке $(2, -2)$. Для $x \ge 2$ это горизонтальный луч $y=-2$, а для $x < 2$ — луч, являющийся частью прямой $y=-2x+2$.

3) $y = \sqrt{(x+4)^2} - x - 4$

Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$y = |x+4| - x - 4$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$, то $|x+4| = x+4$.

Функция принимает вид: $y = (x+4) - x - 4 = 0$.

2. Если $x+4 < 0$, то есть $x < -4$, то $|x+4| = -(x+4) = -x-4$.

Функция принимает вид: $y = (-x-4) - x - 4 = -2x-8$.

Получаем кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} 0, & \text{при } x \ge -4 \\ -2x-8, & \text{при } x < -4 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей:

1. При $x \ge -4$ график представляет собой луч $y = 0$, который является частью оси абсцисс (оси Ox), начинающийся в точке $(-4, 0)$ и идущий вправо.

2. При $x < -4$ график является лучом прямой $y = -2x-8$. Этот луч заканчивается в точке с абсциссой $x=-4$. Найдем ординату: $y = -2(-4)-8 = 8-8=0$. Точка $(-4, 0)$ является точкой "стыка". Для построения этого луча найдем еще одну точку, например, при $x=-5$: $y=-2(-5)-8=10-8=2$. Точка $(-5, 2)$ принадлежит этому лучу.

Ответ: График состоит из двух лучей, соединенных в точке $(-4, 0)$. Для $x \ge -4$ это луч $y=0$ (часть оси Ox), а для $x < -4$ — луч, являющийся частью прямой $y=-2x-8$.