Номер 16.26, страница 139 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.26, страница 139.

Условие.

16.26. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt{(a+3)^6} = (a+3)^3;$

2) $\sqrt{(1-a)^4} = (a-1)^2;$

3) $\sqrt{a-3} \cdot \sqrt{a-3} = a-3;$

4) $\sqrt{a(a-1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a-1};$

5) $\sqrt{a(a-1)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{1-a};$

6) $\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{2-a}} = \sqrt{\frac{a-1}{2-a}}?$

Решение.

1) Левая часть равенства преобразуется следующим образом: $\sqrt{(a+3)^6} = \sqrt{((a+3)^3)^2} = |(a+3)^3|$. Тогда исходное равенство принимает вид $|(a+3)^3| = (a+3)^3$. Равенство вида $|x| = x$ истинно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$. В данном случае $x = (a+3)^3$. Следовательно, должно выполняться неравенство $(a+3)^3 \ge 0$, что равносильно неравенству $a+3 \ge 0$. Решая его, получаем $a \ge -3$. Ответ: $a \ge -3$.

2) Преобразуем левую часть равенства: $\sqrt{(1-a)^4} = \sqrt{((1-a)^2)^2} = |(1-a)^2|$. Поскольку выражение $(1-a)^2$ всегда неотрицательно (как квадрат любого действительного числа), его модуль равен самому выражению: $|(1-a)^2| = (1-a)^2$. Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства: $(1-a)^2$ и $(a-1)^2$. Так как $(1-a)^2 = (-(a-1))^2 = (-1)^2 \cdot (a-1)^2 = (a-1)^2$, то левая и правая части тождественно равны. Следовательно, равенство выполняется при любых действительных значениях $a$. Ответ: $a$ — любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).

3) Равенство $\sqrt{a-3} \cdot \sqrt{a-3} = a-3$ является записью определения арифметического квадратного корня: $(\sqrt{x})^2 = x$. Это равенство имеет смысл и является верным только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, должно выполняться условие $a-3 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $a \ge 3$. Ответ: $a \ge 3$.

4) Свойство $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ выполняется тогда и только тогда, когда оба множителя под корнями в правой части неотрицательны. В данном случае это означает, что должны одновременно выполняться два неравенства: $a \ge 0$ и $a-1 \ge 0$. Решим эту систему: из второго неравенства следует $a \ge 1$. Условие $a \ge 1$ автоматически удовлетворяет и первому неравенству ($a \ge 0$). Следовательно, равенство выполняется при $a \ge 1$. Ответ: $a \ge 1$.

5) Правая часть равенства имеет вид $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{1-a}$. Заметим, что $1-a = -(a-1)$. Равенство $\sqrt{a(a-1)} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-(a-1)}$ является частным случаем свойства $\sqrt{xy} = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-y}$, которое справедливо тогда и только тогда, когда оба множителя $x$ и $y$ неположительны. В нашем случае $x=a$ и $y=a-1$. Таким образом, должны одновременно выполняться условия: $a \le 0$ и $a-1 \le 0$. Второе неравенство дает $a \le 1$. Пересечением условий $a \le 0$ и $a \le 1$ является $a \le 0$. Ответ: $a \le 0$.

6) Свойство $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$ выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение в числителе неотрицательно ($x \ge 0$), а подкоренное выражение в знаменателе строго положительно ($y > 0$, так как деление на ноль невозможно). В данном случае $x = a-1$ и $y = 2-a$. Таким образом, должна выполняться система неравенств: $a-1 \ge 0$ и $2-a > 0$. Решая эту систему, получаем: $a \ge 1$ и $a < 2$. Объединяя эти два условия, получаем интервал $1 \le a < 2$. Ответ: $1 \le a < 2$.