Номер 16.17, страница 138 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.17, страница 138.

Условие.

16.17. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

1) $\sqrt{b^2}$;

2) $-0,4\sqrt{c^2}$;

3) $\sqrt{a^6}$;

4) $\sqrt{m^8}$.

Решение.

1) Для преобразования выражения $\sqrt{b^2}$ используется основное свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $x$ справедливо тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Применив это правило к нашему случаю, где в роли $x$ выступает $b$, мы получаем:

$\sqrt{b^2} = |b|$

Выражение $|b|$ (модуль $b$) является тождественно равным исходному и не содержит знака корня. Модуль раскрывается как $b$, если $b \ge 0$, и как $-b$, если $b < 0$.

Ответ: $|b|$

2) Рассмотрим выражение $-0,4\sqrt{c^2}$. Сначала упростим часть, содержащую корень, то есть $\sqrt{c^2}$. Используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, заменим $\sqrt{c^2}$ на $|c|$:

$\sqrt{c^2} = |c|$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$-0,4\sqrt{c^2} = -0,4 \cdot |c| = -0,4|c|$

Полученное выражение является искомым, так как оно тождественно равно начальному и не имеет знака корня.

Ответ: $-0,4|c|$

3) Чтобы упростить выражение $\sqrt{a^6}$, представим подкоренное выражение $a^6$ как квадрат некоторого другого выражения. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, можно записать:

$a^6 = a^{3 \cdot 2} = (a^3)^2$

Теперь исходное выражение примет вид:

$\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2}$

Применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, где $x=a^3$:

$\sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$

Знак модуля здесь обязателен, поскольку если $a$ — отрицательное число, то $a^3$ также будет отрицательным, а результат извлечения корня должен быть неотрицательным.

Ответ: $|a^3|$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{m^8}$. Как и в предыдущем примере, представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$m^8 = m^{4 \cdot 2} = (m^4)^2$

Тогда выражение можно переписать следующим образом:

$\sqrt{m^8} = \sqrt{(m^4)^2}$

Воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$, где $x=m^4$:

$\sqrt{(m^4)^2} = |m^4|$

Теперь проанализируем выражение под модулем. Поскольку любое действительное число, возведённое в чётную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным, то $m^4 \ge 0$ при любом значении $m$. По определению модуля, если выражение под ним неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Следовательно, мы можем убрать знак модуля:

$|m^4| = m^4$

Ответ: $m^4$