Номер 16.6, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня - номер 16.6, страница 137.

Условие.

16.6. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$; 2) $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}}$; 3) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}}$; 4) $\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Решение.

1) Для нахождения значения выражения используем свойство частного квадратных корней, которое гласит, что частное корней равно корню из частного: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

2) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}} = \sqrt{\frac{6,3}{0,7}}$.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 10:
$\sqrt{\frac{6,3 \cdot 10}{0,7 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{63}{7}} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

3) Снова применяем свойство частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}} = \sqrt{\frac{98}{242}}$.
Сократим дробь под знаком корня. Оба числа, 98 и 242, являются четными, поэтому разделим их на 2:
$\frac{98}{242} = \frac{98 \div 2}{242 \div 2} = \frac{49}{121}$.
Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\sqrt{\frac{49}{121}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{121}} = \frac{7}{11}$.
Ответ: $\frac{7}{11}$.

4) В этом выражении присутствуют как умножение, так и деление корней. Воспользуемся свойствами: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
Можно объединить все операции под одним знаком корня:
$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.
Альтернативный способ – разложить подкоренное выражение в числителе на множители:
$\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Теперь можно сократить $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Ответ: 2.