Номер 15.29, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.29, страница 129.

Условие.

15.29. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

$\left(\left(\frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4}\right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2}\right)$

не зависит от значения $a$.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной a, необходимо упростить это выражение и показать, что в результате получится константа (число).

Исходное выражение:

$(\frac{3}{4-4a+a^2} + \frac{2}{a^2-4}) \cdot (a-2)^2 - \frac{2a-4}{a+2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$4-4a+a^2 \neq 0 \implies (a-2)^2 \neq 0 \implies a \neq 2$

$a^2-4 \neq 0 \implies (a-2)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 2$ и $a \neq -2$

$a+2 \neq 0 \implies a \neq -2$

Таким образом, ОДЗ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение по действиям.

1. Сложение дробей в скобках.

Разложим знаменатели на множители:

$4-4a+a^2 = (a-2)^2$

$a^2-4 = (a-2)(a+2)$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)^2(a+2)$:

$\frac{3}{(a-2)^2} + \frac{2}{(a-2)(a+2)} = \frac{3(a+2)}{(a-2)^2(a+2)} + \frac{2(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{3(a+2) + 2(a-2)}{(a-2)^2(a+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{3a+6+2a-4}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{5a+2}{(a-2)^2(a+2)}$

2. Умножение.

Умножим результат первого действия на $(a-2)^2$:

$(\frac{5a+2}{(a-2)^2(a+2)}) \cdot (a-2)^2 = \frac{5a+2}{a+2}$

Мы можем сократить на $(a-2)^2$, так как $a \neq 2$.

3. Вычитание.

Вычтем из полученного выражения последнюю дробь. Сначала упростим ее числитель:

$\frac{2a-4}{a+2} = \frac{2(a-2)}{a+2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{5a+2}{a+2} - \frac{2a-4}{a+2} = \frac{(5a+2) - (2a-4)}{a+2} = \frac{5a+2-2a+4}{a+2} = \frac{3a+6}{a+2}$

4. Финальное упрощение.

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a+2)}{a+2} = 3$

Мы можем сократить на $(a+2)$, так как $a \neq -2$.

В результате всех преобразований мы получили число 3. Так как итоговое значение является константой, оно не зависит от значения переменной a при всех допустимых значениях.

Ответ: В результате упрощения выражение равно 3, что доказывает, что его значение не зависит от переменной a.