Номер 15.26, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.26, страница 128.

Условие.

15.26. Существует ли такое число x, что значения выражений:

1) $x + \sqrt{3}$ и $\frac{1}{x} - \sqrt{3}$;

2) $x + \sqrt{3}$ и $\frac{1}{x} + \sqrt{3}$

являются целыми числами?

Решение.

1)

Предположим, что такое число $x$ существует. Тогда существуют целые числа $n$ и $m$, такие что:

$x + \sqrt{3} = n$

$\frac{1}{x} - \sqrt{3} = m$

Из этих уравнений выразим $x$ и $\frac{1}{x}$:

$x = n - \sqrt{3}$

$\frac{1}{x} = m + \sqrt{3}$

Поскольку $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ (очевидно, $x \neq 0$, иначе второе выражение не определено), перемножим правые части выражений:

$1 = (n - \sqrt{3})(m + \sqrt{3})$

Раскроем скобки в правой части:

$1 = nm + n\sqrt{3} - m\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2$

$1 = nm + (n - m)\sqrt{3} - 3$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать рациональные и иррациональные части:

$4 - nm = (n - m)\sqrt{3}$

В левой части этого равенства стоит целое число, так как $n$ и $m$ — целые. В правой части стоит произведение целого числа $(n-m)$ и иррационального числа $\sqrt{3}$. Такое произведение может быть целым числом только в том случае, если множитель при $\sqrt{3}$ равен нулю. Следовательно, обе части равенства должны быть равны нулю.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} n - m = 0 \\ 4 - nm = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $n = m$. Подставив это во второе уравнение, получаем:

$4 - n \cdot n = 0$

$n^2 = 4$

Это уравнение имеет целые решения: $n = 2$ и $n = -2$.

Если $n = 2$, то и $m = 2$. Найдем соответствующее значение $x$ из уравнения $x = n - \sqrt{3}$:

$x = 2 - \sqrt{3}$

Мы нашли значение $x$, для которого исходные выражения принимают целые значения ($2$ и $2$). Следовательно, такое число $x$ существует.

Ответ: Да, существует. Например, $x = 2 - \sqrt{3}$.

2)

Предположим, что такое число $x$ существует. Тогда существуют целые числа $n$ и $m$, такие что:

$x + \sqrt{3} = n$

$\frac{1}{x} + \sqrt{3} = m$

Из этих уравнений выразим $x$ и $\frac{1}{x}$:

$x = n - \sqrt{3}$

$\frac{1}{x} = m - \sqrt{3}$

Перемножим эти два выражения. Так как $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ (при $x \neq 0$), получим:

$1 = (n - \sqrt{3})(m - \sqrt{3})$

Раскроем скобки в правой части:

$1 = nm - n\sqrt{3} - m\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

$1 = nm - (n+m)\sqrt{3} + 3$

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать рациональные и иррациональные части:

$(n+m)\sqrt{3} = nm + 3 - 1$

$(n+m)\sqrt{3} = nm + 2$

Так как $n$ и $m$ - целые числа, то их сумма $(n+m)$ и выражение $(nm+2)$ также являются целыми числами. В левой части равенства стоит произведение целого числа $(n+m)$ и иррационального числа $\sqrt{3}$, а в правой — целое число. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю, поскольку произведение ненулевого целого числа на иррациональное число иррационально.

Следовательно, мы имеем систему уравнений:

$\begin{cases} n+m = 0 \\ nm+2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $m = -n$. Подставим это во второе уравнение:

$n(-n) + 2 = 0$

$-n^2 + 2 = 0$

$n^2 = 2$

Это уравнение не имеет решений в целых числах, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 2. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Наше первоначальное предположение о существовании такого числа $x$ неверно.

Ответ: Нет, не существует.