Номер 15.26, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.26, страница 128.
№15.26 (с. 128)
Условие. №15.26 (с. 128)
скриншот условия
 
                                15.26. Существует ли такое число x, что значения выражений:
1) $x + \sqrt{3}$ и $\frac{1}{x} - \sqrt{3}$;
2) $x + \sqrt{3}$ и $\frac{1}{x} + \sqrt{3}$
являются целыми числами?
Решение. №15.26 (с. 128)
1)
Предположим, что такое число $x$ существует. Тогда существуют целые числа $n$ и $m$, такие что:
$x + \sqrt{3} = n$
$\frac{1}{x} - \sqrt{3} = m$
Из этих уравнений выразим $x$ и $\frac{1}{x}$:
$x = n - \sqrt{3}$
$\frac{1}{x} = m + \sqrt{3}$
Поскольку $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ (очевидно, $x \neq 0$, иначе второе выражение не определено), перемножим правые части выражений:
$1 = (n - \sqrt{3})(m + \sqrt{3})$
Раскроем скобки в правой части:
$1 = nm + n\sqrt{3} - m\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2$
$1 = nm + (n - m)\sqrt{3} - 3$
Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать рациональные и иррациональные части:
$4 - nm = (n - m)\sqrt{3}$
В левой части этого равенства стоит целое число, так как $n$ и $m$ — целые. В правой части стоит произведение целого числа $(n-m)$ и иррационального числа $\sqrt{3}$. Такое произведение может быть целым числом только в том случае, если множитель при $\sqrt{3}$ равен нулю. Следовательно, обе части равенства должны быть равны нулю.
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} n - m = 0 \\ 4 - nm = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $n = m$. Подставив это во второе уравнение, получаем:
$4 - n \cdot n = 0$
$n^2 = 4$
Это уравнение имеет целые решения: $n = 2$ и $n = -2$.
Если $n = 2$, то и $m = 2$. Найдем соответствующее значение $x$ из уравнения $x = n - \sqrt{3}$:
$x = 2 - \sqrt{3}$
Мы нашли значение $x$, для которого исходные выражения принимают целые значения ($2$ и $2$). Следовательно, такое число $x$ существует.
Ответ: Да, существует. Например, $x = 2 - \sqrt{3}$.
2)
Предположим, что такое число $x$ существует. Тогда существуют целые числа $n$ и $m$, такие что:
$x + \sqrt{3} = n$
$\frac{1}{x} + \sqrt{3} = m$
Из этих уравнений выразим $x$ и $\frac{1}{x}$:
$x = n - \sqrt{3}$
$\frac{1}{x} = m - \sqrt{3}$
Перемножим эти два выражения. Так как $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ (при $x \neq 0$), получим:
$1 = (n - \sqrt{3})(m - \sqrt{3})$
Раскроем скобки в правой части:
$1 = nm - n\sqrt{3} - m\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
$1 = nm - (n+m)\sqrt{3} + 3$
Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать рациональные и иррациональные части:
$(n+m)\sqrt{3} = nm + 3 - 1$
$(n+m)\sqrt{3} = nm + 2$
Так как $n$ и $m$ - целые числа, то их сумма $(n+m)$ и выражение $(nm+2)$ также являются целыми числами. В левой части равенства стоит произведение целого числа $(n+m)$ и иррационального числа $\sqrt{3}$, а в правой — целое число. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю, поскольку произведение ненулевого целого числа на иррациональное число иррационально.
Следовательно, мы имеем систему уравнений:
$\begin{cases} n+m = 0 \\ nm+2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $m = -n$. Подставим это во второе уравнение:
$n(-n) + 2 = 0$
$-n^2 + 2 = 0$
$n^2 = 2$
Это уравнение не имеет решений в целых числах, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 2. Таким образом, мы пришли к противоречию.
Наше первоначальное предположение о существовании такого числа $x$ неверно.
Ответ: Нет, не существует.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 15.26 расположенного на странице 128 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.26 (с. 128), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    