Номер 15.19, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.19, страница 128.

Условие.

15.19. Можно ли представить число $\sqrt{2}+1$ в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа?

Решение.

Предположим, что число $\sqrt{2}+1$ можно представить в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа $q$. Это означает, что существует такое рациональное число $q > 0$, для которого выполняется равенство:

$\sqrt{2} + 1 = \sqrt{q}$

Поскольку обе части этого равенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, при этом равенство останется верным:

$(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{q})^2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$q = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2$

$q = 2 + 2\sqrt{2} + 1$

$q = 3 + 2\sqrt{2}$

По нашему первоначальному предположению, число $q$ должно быть рациональным. Теперь проверим, является ли число $3 + 2\sqrt{2}$ рациональным.

Предположим от противного, что $3 + 2\sqrt{2}$ — это рациональное число. Обозначим его буквой $r$:

$3 + 2\sqrt{2} = r$, где $r \in \mathbb{Q}$ (множество рациональных чисел).

Выразим из этого уравнения $\sqrt{2}$:

$2\sqrt{2} = r - 3$

$\sqrt{2} = \frac{r - 3}{2}$

Рассмотрим правую часть полученного равенства. Так как $r$ — рациональное число, то и разность $r - 3$ также является рациональным числом (поскольку множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания). Деление рационального числа $r-3$ на рациональное число $2$ также дает в результате рациональное число.

Таким образом, мы получили, что $\sqrt{2}$ равен рациональному числу $\frac{r - 3}{2}$. Однако, хорошо известно, что число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Мы пришли к противоречию: иррациональное число ($\sqrt{2}$) оказалось равно рациональному числу. Это противоречие означает, что наше допущение о том, что число $3 + 2\sqrt{2}$ является рациональным, было неверным.

Следовательно, число $q = 3 + 2\sqrt{2}$ является иррациональным. А это, в свою очередь, противоречит исходному условию, что $q$ — рациональное число.

Таким образом, число $\sqrt{2}+1$ нельзя представить в виде арифметического квадратного корня из некоторого рационального числа.

Ответ: нет, нельзя.