Номер 15.13, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.13, страница 127.

Условие.

15.13. Верно ли, что:

1) сумма любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом;

2) произведение любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом;

3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является иррациональным числом?

Решение.

1) сумма любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом;

Данное утверждение неверно. Чтобы опровергнуть его, достаточно привести контрпример — случай, когда сумма двух иррациональных чисел является рациональным числом.

Рассмотрим два иррациональных числа: $a = \sqrt{2}$ и $b = -\sqrt{2}$. Их сумма равна $a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Число $0$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{0}{1}$.

Другой пример: числа $c = 5 - \sqrt{3}$ и $d = 1 + \sqrt{3}$. Оба числа иррациональны. Их сумма $c + d = (5 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 6$ является рациональным числом.

Поскольку существуют пары иррациональных чисел, сумма которых рациональна, исходное утверждение для любых двух иррациональных чисел является ложным.

Ответ: Нет, неверно.

2) произведение любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом;

Это утверждение также является неверным. Можно привести контрпример, где произведение двух иррациональных чисел является рациональным числом.

Рассмотрим иррациональное число $\sqrt{3}$. Если умножить его само на себя, мы получим: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$. Число $3$ является рациональным.

Еще один пример: возьмем два иррациональных числа $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{2}$. Их произведение $a \cdot b = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$, что является рациональным числом.

Таким образом, утверждение, что произведение любых двух иррациональных чисел всегда иррационально, ложно.

Ответ: Нет, неверно.

3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является иррациональным числом?

Данное утверждение неверно, так как оно не выполняется для одного частного случая — когда рациональное число равно нулю.

Возьмем любое иррациональное число, например, $a = \pi$, и рациональное число $r = 0$. Их произведение равно $a \cdot r = \pi \cdot 0 = 0$. Число $0$ является рациональным, что опровергает утверждение.

Важно отметить, что если бы вопрос был сформулирован как "произведение любого иррационального числа и любого ненулевого рационального числа", то утверждение было бы верным. Это можно доказать от противного. Пусть $i$ — иррациональное число, а $r$ — ненулевое рациональное число. Предположим, что их произведение $p = i \cdot r$ является рациональным числом. Тогда из этого равенства можно выразить $i = \frac{p}{r}$. Поскольку деление рационального числа $p$ на ненулевое рациональное число $r$ всегда дает в результате рациональное число, то $i$ должно быть рациональным. Это противоречит нашему начальному условию, что $i$ — иррациональное. Следовательно, наше предположение было неверным, и произведение иррационального числа на ненулевое рациональное всегда иррационально.

Однако, поскольку в условии вопроса говорится о "любом рациональном числе", что включает и $0$, общее утверждение является ложным.

Ответ: Нет, неверно.