Номер 15.15, страница 128 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.15, страница 128.

Условие.

15.15. Найдите все рациональные числа $a$ и $b$ такие, что число $a + b\sqrt{2}$ является рациональным.

Решение.

Пусть $a$ и $b$ — рациональные числа, то есть $a \in \mathbb{Q}$ и $b \in \mathbb{Q}$.

По условию задачи, число $c = a + b\sqrt{2}$ также является рациональным, то есть $c \in \mathbb{Q}$.

Преобразуем данное равенство, чтобы выразить член с иррациональным множителем:

$b\sqrt{2} = c - a$

Поскольку $c$ и $a$ являются рациональными числами, их разность $c - a$ также является рациональным числом.

Рассмотрим два возможных случая для значения $b$.

1. Предположим, что $b \neq 0$.

Поскольку $b$ — ненулевое рациональное число, мы можем разделить обе части равенства $b\sqrt{2} = c - a$ на $b$:

$\sqrt{2} = \frac{c - a}{b}$

В правой части этого выражения находится частное двух рациональных чисел ($c-a$ и $b$), которое, по определению, является рациональным числом. Таким образом, мы получаем, что $\sqrt{2}$ — рациональное число. Однако, это противоречит известному факту, что $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.

Следовательно, наше предположение о том, что $b \neq 0$, неверно.

2. Рассмотрим случай, когда $b = 0$.

Подставим $b = 0$ в исходное выражение $a + b\sqrt{2}$:

$a + 0 \cdot \sqrt{2} = a$

По условию, $a$ — рациональное число. Значит, при $b=0$ выражение $a + b\sqrt{2}$ равно $a$ и является рациональным числом, что полностью удовлетворяет условию задачи. При этом $a$ может быть любым рациональным числом.

Таким образом, единственным решением является $b=0$ при любом рациональном $a$.

Ответ: $a$ — любое рациональное число, $b = 0$.