Номер 15.12, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.12, страница 127.

Условие.

15.12. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.

Решение.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть $a$ — рациональное число, а $b$ — иррациональное число. Их сумма равна $c$, то есть $c = a + b$.

Предположим, что сумма $c$ является рациональным числом.

Из равенства $c = a + b$ выразим число $b$:

$b = c - a$

По нашему предположению, $c$ — рациональное число. По условию, $a$ — также рациональное число. Разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Это можно показать следующим образом: если $c = \frac{m}{n}$ и $a = \frac{p}{q}$ (где $m, p$ — целые числа, а $n, q$ — целые ненулевые числа), то их разность равна:

$b = c - a = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq - pn}{nq}$

Числитель $mq - pn$ является целым числом, а знаменатель $nq$ — целым ненулевым числом. Следовательно, число $b$ представимо в виде дроби, а значит, является рациональным числом.

Таким образом, мы пришли к выводу, что $b$ — рациональное число. Однако это противоречит исходному условию, согласно которому $b$ — иррациональное число.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом, а значит, она является иррациональным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональным числом.