Номер 15.14, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.14, страница 127.

Условие.

15.14. Известно, что сумма и произведение двух чисел — рациональные числа. Обязательно ли данные числа являются рациональными?

Решение.

Нет, не обязательно. Числа могут быть иррациональными.

Рассмотрим этот вопрос с помощью теоремы Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — это два числа. По условию, их сумма $x_1 + x_2 = p$ и произведение $x_1 \cdot x_2 = q$ являются рациональными числами ($p \in \mathbb{Q}$, $q \in \mathbb{Q}$).

Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x_1+x_2)t + x_1x_2 = 0$, то есть $t^2 - pt + q = 0$. Коэффициенты этого уравнения ($1$, $-p$ и $q$) рациональны.

Корни этого уравнения можно найти по формуле: $t_{1,2} = \frac{p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$.

Корни $t_1$ и $t_2$ (а значит, и наши числа $x_1$ и $x_2$) будут рациональными тогда и только тогда, когда выражение $\sqrt{p^2 - 4q}$ будет рациональным. Это возможно, если дискриминант $D = p^2 - 4q$ является полным квадратом рационального числа. Однако, если дискриминант $D$ является положительным рациональным числом, но не квадратом рационального числа, то $\sqrt{D}$ будет иррациональным числом, а значит и корни уравнения будут иррациональными.

Приведем контрпример. Пусть даны два иррациональных числа: $x_1 = 3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{2}$.

Найдем их сумму:

$x_1 + x_2 = (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$.

Сумма равна 6 — это рациональное число.

Найдем их произведение:

$x_1 \cdot x_2 = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

Произведение равно 7 — это также рациональное число.

Таким образом, существуют два иррациональных числа ($3 + \sqrt{2}$ и $3 - \sqrt{2}$), сумма и произведение которых являются рациональными числами. Следовательно, не обязательно, что исходные числа являются рациональными.

Ответ: Нет, не обязательно.