Номер 15.7, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.7, страница 127.

Условие.

15.7. Сравните числа:

1) $\frac{43}{7}$ и 6,12;

2) 3,$\overline{24}$ и 3,24;

3) -2,$\overline{36}$ и -2,36.

Решение.

1) Для того чтобы сравнить числа $\frac{43}{7}$ и $6,12$, необходимо привести их к одному виду. Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{43}{7}$ в десятичную, разделив числитель на знаменатель.

$43 \div 7 \approx 6,1428...$

Теперь сравним полученную бесконечную десятичную дробь $6,1428...$ с конечной десятичной дробью $6,12$. Сравнение будем производить поразрядно, слева направо.

• Целые части у обоих чисел равны: $6=6$.
• Цифры в разряде десятых также равны: $1=1$.
• Цифры в разряде сотых различаются: у первого числа это $4$, у второго $2$.

Так как $4 > 2$, то и число $6,1428...$ больше, чем $6,12$.

Следовательно, $\frac{43}{7} > 6,12$.

Ответ: $\frac{43}{7} > 6,12$.

2) Сравним числа $3,(24)$ и $3,24$.

Число $3,(24)$ — это периодическая десятичная дробь, где группа цифр $24$ бесконечно повторяется. Запишем это число в развернутом виде: $3,242424...$

Число $3,24$ — это конечная десятичная дробь. Для удобства сравнения мы можем дописать после последней значащей цифры нули: $3,240000...$

Теперь сравним $3,242424...$ и $3,240000...$ поразрядно:

• Целые части равны: $3=3$.
• Цифры в разряде десятых равны: $2=2$.
• Цифры в разряде сотых равны: $4=4$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: у первого числа это $2$, а у второго $0$.

Так как $2 > 0$, то число $3,242424...$ больше, чем $3,240000...$

Следовательно, $3,(24) > 3,24$.

Ответ: $3,(24) > 3,24$.

3) Сравним числа $-2,(36)$ и $-2,36$.

Данные числа являются отрицательными. Чтобы их сравнить, сначала сравним их модули (абсолютные величины).

Модуль числа $-2,(36)$ равен $2,(36)$. Это периодическая дробь $2,363636...$

Модуль числа $-2,36$ равен $2,36$. Это конечная дробь $2,360000...$

Сравним $2,363636...$ и $2,360000...$ поразрядно:

• Целые части, десятые и сотые разряды у чисел совпадают.
• В разряде тысячных у первого числа стоит цифра $3$, а у второго $0$.

Так как $3 > 0$, то $2,363636... > 2,360000...$, а значит $|-2,(36)| > |-2,36|$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поскольку модуль числа $-2,(36)$ больше модуля числа $-2,36$, само число $-2,(36)$ будет меньше, чем $-2,36$.

Следовательно, $-2,(36) < -2,36$.

Ответ: $-2,(36) < -2,36$.