Номер 15.6, страница 127 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.6, страница 127.

Условие.

15.6. Укажите какое-нибудь значение $a$, при котором уравнение $x^2 = a$:

1) имеет два рациональных корня;

2) имеет два иррациональных корня.

Решение.

1) имеет два рациональных корня;

Рассмотрим уравнение $x^2 = a$. Его корни можно найти по формуле $x = \pm\sqrt{a}$. Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы подкоренное выражение было строго положительным, то есть $a > 0$. Чтобы корни были рациональными, число $\sqrt{a}$ также должно быть рациональным. Это условие выполняется, если $a$ является квадратом некоторого рационального числа. Выберем простое значение для $a$. Пусть $a$ будет квадратом целого числа, например, $3$. Тогда $a = 3^2 = 9$. Подставим это значение в исходное уравнение: $x^2 = 9$. Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{9} = 3$ и $x_2 = -\sqrt{9} = -3$. Оба корня, $3$ и $-3$, являются рациональными числами. Таким образом, значение $a=9$ подходит.

Ответ: $a=9$.

2) имеет два иррациональных корня.

Как и в первом случае, уравнение $x^2 = a$ имеет два различных корня $x = \pm\sqrt{a}$ при $a > 0$. Чтобы эти корни были иррациональными, число $\sqrt{a}$ должно быть иррациональным. Это условие выполняется, если положительное число $a$ не является квадратом какого-либо рационального числа. Выберем в качестве $a$ любое положительное число, которое не является полным квадратом. Например, возьмем $a=2$. Подставим это значение в исходное уравнение: $x^2 = 2$. Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$. Оба корня, $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$, являются иррациональными числами. Таким образом, значение $a=2$ подходит.

Ответ: $a=2$.