Номер 15.2, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Множество действительных чисел - номер 15.2, страница 126.

Условие.

15.2. Является ли истинным высказывание:

1) любое натуральное число является целым;

2) любое натуральное число является рациональным;

3) любое натуральное число является действительным;

4) любое рациональное число является целым;

5) любое действительное число является рациональным;

6) любое рациональное число является действительным;

7) любое иррациональное число является действительным;

8) любое действительное число является рациональным или иррациональным?

Решение.

Для решения данной задачи необходимо вспомнить определения и соотношения между различными числовыми множествами:

• Натуральные числа ($ \mathbb{N} $) — числа, используемые при счете: $ \{1, 2, 3, ...\} $.
• Целые числа ($ \mathbb{Z} $) — натуральные числа, им противоположные и ноль: $ \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} $.
• Рациональные числа ($ \mathbb{Q} $) — числа, которые можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m \in \mathbb{Z} $, $ n \in \mathbb{N} $.
• Иррациональные числа ($ \mathbb{I} $) — числа, которые нельзя представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $.
• Действительные (вещественные) числа ($ \mathbb{R} $) — объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Соотношение между множествами: $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $. Также $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.

1) любое натуральное число является целым;

Множество натуральных чисел $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\} $ является подмножеством множества целых чисел $ \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} $. Каждое натуральное число по определению входит в состав целых чисел. Следовательно, высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

2) любое натуральное число является рациональным;

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $, где $ m $ — целое число, а $ n $ — натуральное. Любое натуральное число $ k $ можно представить в виде дроби $ \frac{k}{1} $. Так как $ k $ является целым числом, а 1 — натуральным, то любое натуральное число является рациональным. Таким образом, $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} $. Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

3) любое натуральное число является действительным;

Множество действительных (вещественных) чисел $ \mathbb{R} $ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку любое натуральное число является рациональным (см. пункт 2), а все рациональные числа являются действительными ($ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $), то и любое натуральное число является действительным ($ \mathbb{N} \subset \mathbb{R} $). Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.

4) любое рациональное число является целым;

Это утверждение неверно. Рациональные числа включают в себя не только целые, но и дробные числа. Чтобы доказать ложность высказывания, достаточно привести один контрпример. Например, число $ \frac{1}{2} $ (или 0,5) является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, но оно не является целым числом. Следовательно, не любое рациональное число является целым. Высказывание ложно.

Ответ: Ложно.

5) любое действительное число является рациональным;

Это утверждение неверно. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ состоит из рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ и иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $. Примерами таких чисел являются $ \sqrt{2} $, $ \pi $. Эти числа являются действительными, но не рациональными. Следовательно, высказывание ложно.

Ответ: Ложно.

6) любое рациональное число является действительным;

Это утверждение истинно по определению. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ является объединением множества рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ и множества иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Таким образом, любое рациональное число является частью множества действительных чисел, то есть $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $.

Ответ: Истинно.

7) любое иррациональное число является действительным;

Это утверждение также истинно по определению. Множество действительных чисел $ \mathbb{R} $ является объединением множества рациональных чисел $ \mathbb{Q} $ и множества иррациональных чисел $ \mathbb{I} $. Таким образом, любое иррациональное число является частью множества действительных чисел, то есть $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $.

Ответ: Истинно.

8) любое действительное число является рациональным или иррациональным?

Это утверждение является определением множества действительных чисел. Любое действительное число либо можно представить в виде дроби $ \frac{m}{n} $ (и тогда оно рациональное), либо нельзя (и тогда оно иррациональное). Третьего не дано. Математически это записывается как $ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $, где пересечение этих множеств пусто $ \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset $. Высказывание истинно.

Ответ: Истинно.