Номер 14.47, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.47, страница 120.

Условие.

14.47. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $a\sqrt{x-1}=0;$

2) $\sqrt{(a-1)x}=0;$

3) $a\sqrt{x-1}=a;$

4) $\sqrt{x-2}=a;$

5) $(x-1)\sqrt{x-a}=0;$

6) $(2-a)\sqrt{x-2}=0.$

Решение.

1) Дано уравнение $a\sqrt{x-1} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Уравнение представляет собой произведение, равное нулю. Это возможно, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $a = 0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-1} = 0$, то есть $0=0$. Это верное равенство для любого $x$, удовлетворяющего ОДЗ.
Следовательно, при $a=0$ решением является любое число из промежутка $x \in [1, +\infty)$.

Случай 2: $a \neq 0$.
В этом случае равенство нулю достигается только при $\sqrt{x-1} = 0$.
Возводя обе части в квадрат, получаем $x-1=0$, откуда $x=1$.
Найденный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Ответ: если $a=0$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x=1$.

2) Дано уравнение $\sqrt{(a-1)x} = 0$.

ОДЗ: $(a-1)x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $(a-1)x = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $a-1 = 0$, то есть $a=1$.
Исходное уравнение принимает вид $\sqrt{0 \cdot x} = 0$, или $0=0$. Это верно для любого действительного числа $x$. ОДЗ в этом случае: $0 \cdot x \ge 0$, то есть $0 \ge 0$, что также верно для любого $x$.
Следовательно, при $a=1$ решением является $x \in (-\infty, +\infty)$.

Случай 2: $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Из уравнения $(a-1)x = 0$ следует, что $x=0$.
Проверим ОДЗ для $x=0$: $(a-1) \cdot 0 \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно при любом $a$.
Следовательно, при $a \neq 1$ решением является $x=0$.

Ответ: если $a=1$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a \neq 1$, то $x=0$.

3) Дано уравнение $a\sqrt{x-1} = a$.

ОДЗ: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Случай 1: $a=0$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-1} = 0$, то есть $0=0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ.
Следовательно, при $a=0$ решением является $x \in [1, +\infty)$.

Случай 2: $a \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $a$: $\sqrt{x-1} = 1$.
Возведем обе части в квадрат: $x-1 = 1^2$, откуда $x=2$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 1$).

Ответ: если $a=0$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x=2$.

4) Дано уравнение $\sqrt{x-2} = a$.

ОДЗ: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-2}$ является неотрицательной величиной. Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы правая часть уравнения также была неотрицательной.

Случай 1: $a < 0$.
Уравнение не имеет решений, так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу.

Случай 2: $a \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x-2})^2 = a^2$, что дает $x-2 = a^2$.
Отсюда $x = a^2 + 2$.
Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2+2 \ge 2$. Условие $x \ge 2$ выполняется.

Ответ: если $a < 0$, то решений нет; если $a \ge 0$, то $x = a^2 + 2$.

5) Дано уравнение $(x-1)\sqrt{x-a} = 0$.

ОДЗ: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

1) $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Этот корень существует, если он удовлетворяет ОДЗ: $1 \ge a$.

2) $\sqrt{x-a}=0 \Rightarrow x-a=0 \Rightarrow x=a$.
Этот корень всегда удовлетворяет ОДЗ, так как $a \ge a$ является верным неравенством.

Проанализируем решения в зависимости от значения $a$.

Случай 1: $a > 1$.
Условие $1 \ge a$ не выполняется, поэтому $x=1$ не является корнем. Единственный корень — $x=a$.

Случай 2: $a \le 1$.
Условие $1 \ge a$ выполняется, поэтому $x=1$ является корнем. $x=a$ также является корнем. Если $a=1$, корни совпадают. Если $a<1$, корни различны.

Ответ: если $a > 1$, то $x=a$; если $a \le 1$, то $x_1=1, x_2=a$.

6) Дано уравнение $(2-a)\sqrt{x-2} = 0$.

ОДЗ: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $2-a=0$, то есть $a=2$.
Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-2} = 0$, то есть $0=0$. Это верное равенство для любого $x$ из ОДЗ.
Следовательно, при $a=2$ решением является $x \in [2, +\infty)$.

Случай 2: $2-a \neq 0$, то есть $a \neq 2$.
В этом случае равенство нулю возможно только при $\sqrt{x-2}=0$.
Возведя в квадрат, получаем $x-2=0$, откуда $x=2$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 2$).

Ответ: если $a=2$, то $x \in [2, +\infty)$; если $a \neq 2$, то $x=2$.