Номер 14.43, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.43, страница 120.

Условие.

14.43. При каких значениях параметра $a$ не имеет корней уравнение:

1) $(x-a)(\sqrt{-x+1})=0;$

2) $\frac{x-a}{\sqrt{x-1}}=0?$

Решение.

1) $(x-a)(\sqrt{-x}+1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x \geq 0$, что эквивалентно $x \leq 0$.

Рассмотрим два возможных случая, когда произведение равно нулю:

а) Первый множитель равен нулю: $x-a=0$. Отсюда получаем $x=a$. Этот корень будет действительным решением уравнения, только если он принадлежит ОДЗ, то есть если $a \leq 0$.

б) Второй множитель равен нулю: $\sqrt{-x}+1=0$. Это уравнение равносильно $\sqrt{-x}=-1$. Так как арифметический квадратный корень по определению не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, исходное уравнение может иметь только один корень $x=a$, и то только при условии $a \leq 0$. Следовательно, уравнение не будет иметь корней, если условие $a \leq 0$ не выполняется, то есть при $a > 0$. В этом случае единственный потенциальный корень $x=a$ не попадает в область допустимых значений.

Ответ: $a > 0$.

2) $\frac{x-a}{\sqrt{x}-1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, необходимо учесть область определения подкоренного выражения. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ \sqrt{x} - 1 \neq 0 \\ x \geq 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

1. Из первого уравнения находим потенциальный корень: $x=a$.

2. Из второго условия получаем: $\sqrt{x} \neq 1$, что означает $x \neq 1$.

3. Третье условие: $x \geq 0$.

Чтобы уравнение имело корень, значение $x=a$ должно удовлетворять условиям $a \geq 0$ и $a \neq 1$.

Уравнение не будет иметь корней, если потенциальный корень $x=a$ не удовлетворяет этим условиям. Это произойдет в следующих случаях:

а) Нарушается условие $a \geq 0$. То есть, если $a < 0$. В этом случае корень $x=a$ не входит в область определения квадратного корня.

б) Нарушается условие $a \neq 1$. То есть, если $a=1$. В этом случае корень $x=a=1$ обращает знаменатель в ноль, что недопустимо.

Объединяя эти два случая, получаем, что уравнение не имеет корней при $a < 0$ или при $a=1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$.