Номер 14.36, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.36, страница 119.

Условие.

14.36. На координатной плоскости отметьте все точки с координатами $(x; y)$, для которых определено выражение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt{y}$;

2) $\sqrt{x} + \sqrt{-y}$;

3) $\sqrt{xy}$;

4) $\sqrt{x^2y}$.

Решение.

1) Выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ определено, когда каждое из подкоренных выражений неотрицательно. Это приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $
На координатной плоскости этому множеству точек соответствует первая координатная четверть, включая ее границы (положительные полуоси $Ox$ и $Oy$ и начало координат).
Ответ: Первая координатная четверть, включая оси координат.

2) Выражение $\sqrt{x} + \sqrt{-y}$ определено, когда подкоренные выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ -y \ge 0 \end{cases} $
Второе неравенство эквивалентно $y \le 0$. Таким образом, получаем систему:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ y \le 0 \end{cases} $
На координатной плоскости этому множеству точек соответствует четвертая координатная четверть, включая ее границы (положительную полуось $Ox$ и отрицательную полуось $Oy$).
Ответ: Четвертая координатная четверть, включая оси координат.

3) Выражение $\sqrt{xy}$ определено, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $xy \ge 0$. Это неравенство выполняется в двух случаях:
а) оба множителя неотрицательны: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Это соответствует первой координатной четверти, включая оси.
б) оба множителя неположительны: $x \le 0$ и $y \le 0$. Это соответствует третьей координатной четверти, включая оси.
Следовательно, искомое множество точек — это объединение первой и третьей координатных четвертей, включая оси координат.
Ответ: Первая и третья координатные четверти, включая оси координат.

4) Выражение $\sqrt{x^2y}$ определено, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x^2y \ge 0$.
Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$ для любого $x$), рассмотрим два случая:
а) Если $x \neq 0$, то $x^2 > 0$. Разделив неравенство на $x^2$, получим $y \ge 0$. Это соответствует точкам первой и второй координатных четвертей, включая положительную и отрицательную полуоси $Ox$, но исключая ось $Oy$.
б) Если $x = 0$, то неравенство принимает вид $0^2 \cdot y \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верно для любого значения $y$. Значит, все точки оси $Oy$ (где $x=0$) входят в искомое множество.
Объединив оба случая, мы получаем, что выражение определено для всех точек, где $y \ge 0$ (верхняя полуплоскость, включая ось $Ox$), и для всех точек на оси $Oy$. Это множество представляет собой первую и вторую координатные четверти, включая обе оси координат.
Ответ: Первая и вторая координатные четверти, включая оси координат.