Номер 14.42, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.42, страница 120.

Условие.

14.42. При каких значениях параметра a не имеет корней уравнение:

1) $(x-a)(\sqrt{x}+1)=0$;

2) $\frac{x-a}{\sqrt{x}-1}=0$?

Решение.

1) $(x-a)(\sqrt{x}+1)=0$

Для того чтобы данное уравнение имело решение, необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует квадратный корень из $x$, то ОДЗ определяется условием $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1. $\sqrt{x}+1=0$. Отсюда $\sqrt{x}=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом.
2. $x-a=0$. Отсюда $x=a$.

Единственный возможный корень уравнения — это $x=a$. Чтобы он был действительным решением, он должен удовлетворять ОДЗ, то есть $a \ge 0$.

Следовательно, если $a \ge 0$, уравнение имеет один корень $x=a$. Если же это условие не выполняется, то есть $a < 0$, то корень $x=a$ не входит в ОДЗ, и, следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: при $a < 0$.

2) $\frac{x-a}{\sqrt{x}-1}=0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо учесть ОДЗ для квадратного корня. Таким образом, данное уравнение равносильно системе условий:

$\begin{cases} x - a = 0 \\ \sqrt{x} - 1 \neq 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

1. Из первого уравнения получаем $x=a$. Это единственный возможный корень.
2. Из второго условия $\sqrt{x} - 1 \neq 0$ следует, что $\sqrt{x} \neq 1$, то есть $x \neq 1$.
3. Третье условие — это ОДЗ: $x \ge 0$.

Чтобы уравнение имело корень, его единственное возможное решение $x=a$ должно удовлетворять остальным условиям системы, то есть $a \ge 0$ и $a \neq 1$.

Уравнение не будет иметь корней, если эти условия для $a$ не выполняются. Это происходит в следующих случаях:

• Если $a < 0$. В этом случае потенциальный корень $x=a$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
• Если $a = 1$. В этом случае потенциальный корень $x=1$ обращает знаменатель в ноль, что недопустимо.

Объединяя эти два случая, получаем, что уравнение не имеет корней при $a < 0$ или при $a=1$.

Ответ: при $a \in (-\infty; 0) \cup \{1\}$.