Номер 14.38, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.38, страница 119.

Условие.

14.38. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x(x+1)} > 0;$

2) $\sqrt{x(x+1)} \ge 0;$

3) $\sqrt{x(x+1)} < 0;$

4) $\sqrt{x(x+1)} \le 0;$

5) $\frac{x}{\sqrt{x+1}} > 0;$

6) $\frac{x}{\sqrt{x+1}} \ge 0;$

7) $\frac{x}{\sqrt{x+1}} < 0;$

8) $\frac{x}{\sqrt{x+1}} \le 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $\sqrt{x}(x+1) > 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \ge 0$.
На ОДЗ множитель $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть строго больше нуля.
1. $\sqrt{x} > 0 \implies x > 0$.
2. $x+1 > 0 \implies x > -1$.
Пересекая эти условия с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x}(x+1) \ge 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
При $x \ge 0$ множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), а множитель $(x+1)$ всегда положителен ($x+1 \ge 1 > 0$).
Произведение неотрицательного числа на положительное всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x}(x+1) < 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Как и в предыдущем пункте, при $x \ge 0$ имеем $\sqrt{x} \ge 0$ и $x+1 > 0$. Их произведение не может быть отрицательным. Таким образом, неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

4) Решим неравенство $\sqrt{x}(x+1) \le 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
На ОДЗ произведение $\sqrt{x}(x+1)$ не может быть строго меньше нуля. Неравенство может выполняться только в случае равенства нулю.
$\sqrt{x}(x+1) = 0$
Это возможно, если $\sqrt{x} = 0$ или $x+1 = 0$.
$\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.
$x+1 = 0 \implies x = -1$.
Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), подходит только корень $x=0$.
Ответ: $x=0$.

5) Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x+1}} > 0$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, так как оно находится в знаменателе: $x+1 > 0 \implies x > -1$.
На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x+1}$ всегда положителен. Чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть положительным.
$x > 0$.
Пересекая с ОДЗ ($x > -1$), получаем $x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x+1}} \ge 0$.
ОДЗ: $x > -1$.
На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x+1}$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -1 \end{cases}$
Решением системы является $x \ge 0$.
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x+1}} < 0$.
ОДЗ: $x > -1$.
На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x+1}$ всегда положителен. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть отрицательным.
$x < 0$.
Пересекая с ОДЗ ($x > -1$), получаем $-1 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-1; 0)$.

8) Решим неравенство $\frac{x}{\sqrt{x+1}} \le 0$.
ОДЗ: $x > -1$.
На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x+1}$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x \le 0 \\ x > -1 \end{cases}$
Решением системы является $-1 < x \le 0$.
Ответ: $x \in (-1; 0]$.