Номер 14.44, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.44, страница 120.

Условие.

14.44. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x - a)(\sqrt{x} - 2) = 0$ имеет два различных корня?

Решение.

Исходное уравнение: $(x - a)(\sqrt{x} - 2) = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в уравнении присутствует $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. На ОДЗ ($x \ge 0$) оба множителя определены. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - a = 0$ или $\sqrt{x} - 2 = 0$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1) Из второго уравнения получаем:
$\sqrt{x} - 2 = 0$
$\sqrt{x} = 2$
Возведя обе части в квадрат, находим корень:
$x_1 = 4$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$), значит, $x=4$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2) Из первого уравнения получаем:
$x - a = 0$
$x_2 = a$.
Этот корень также должен удовлетворять ОДЗ, то есть $x_2 \ge 0$. Это накладывает на параметр $a$ условие: $a \ge 0$.

По условию задачи, уравнение должно иметь два различных корня. Для этого необходимо выполнение двух условий:

1. Корень $x_2 = a$ должен существовать, то есть должно выполняться условие $a \ge 0$. Если $a < 0$, то корень $x_2=a$ не входит в ОДЗ, и уравнение имеет только один корень $x_1=4$.

2. Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть различны: $x_1 \neq x_2$.
$4 \neq a$.

Объединим оба условия в систему:
$\begin{cases} a \ge 0 \\ a \neq 4 \end{cases}$

Решением этой системы является объединение промежутков: $a \in [0, 4) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $a \in [0, 4) \cup (4, +\infty)$.