Номер 14.40, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.40, страница 120.

Условие.

14.40. Постройте график функции $y = x^3 - (\sqrt{x^2(x-1)})^2$.

Решение.

Для построения графика функции $y = x^3 - (\sqrt{x^2(x-1)})^2$ необходимо сначала найти ее область определения (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$x^2(x-1) \ge 0$

Поскольку множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), данное неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда $x^2 = 0$, что соответствует $x=0$. При подстановке получаем $0 \cdot (0-1) \ge 0$, или $0 \ge 0$, что является верным.
2. Когда $x^2 > 0$ (то есть $x \ne 0$), мы можем разделить неравенство на $x^2$, не меняя его знака. Получаем: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Объединяя эти два случая, получаем область определения функции: $D(y) = \{0\} \cup [1, +\infty)$.

Теперь упростим формулу функции на ее области определения. Для любого неотрицательного выражения $A$ справедливо равенство $(\sqrt{A})^2 = A$. Так как на ОДЗ выражение $x^2(x-1)$ неотрицательно, мы можем убрать корень и квадрат:

$y = x^3 - (x^2(x-1))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = x^3 - (x^3 - x^2) = x^3 - x^3 + x^2 = x^2$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x^2$ на ее области определения, то есть для $x=0$ и для всех $x \ge 1$.

График будет состоять из двух частей:

• При $x=0$, значение функции $y = 0^2 = 0$. Это изолированная точка в начале координат $(0, 0)$.
• При $x \ge 1$, график совпадает с графиком параболы $y = x^2$. Это часть параболы, которая начинается в точке $(1, 1^2)$, то есть $(1, 1)$, и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции представляет собой изолированную точку в начале координат $(0, 0)$ и часть параболы $y=x^2$ для всех $x \ge 1$, начинающуюся в точке $(1, 1)$.