Номер 14.35, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.35, страница 119.

Условие.

14.35. Найдите все пары чисел $(x; y)$, удовлетворяющие уравнению:

1) $\sqrt{x-y} + \sqrt{x+y-2} = 0$;

2) $\sqrt{x^2-4} + \sqrt{y+1} = 0$.

Решение.

1) $\sqrt{x-y} + \sqrt{x+y-2} = 0$

Поскольку значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно ($\sqrt{a} \ge 0$), сумма двух таких значений может быть равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это означает, что подкоренные выражения должны одновременно равняться нулю. Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что $x = y$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$y + y - 2 = 0$

$2y - 2 = 0$

$2y = 2$

$y = 1$

Так как $x = y$, то $x$ также равен 1.

Таким образом, единственная пара чисел, удовлетворяющая уравнению, это $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

2) $\sqrt{x^2-4} + \sqrt{y+1} = 0$

Как и в предыдущем задании, сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Решим второе уравнение:

$y + 1 = 0$

$y = -1$

Каждому значению $x$ соответствует одно и то же значение $y$. Таким образом, мы получаем две пары чисел, которые являются решением уравнения: $(2; -1)$ и $(-2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$, $(-2; -1)$.