Номер 14.32, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.32, страница 119.

Условие.

14.32. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{-x^2}$;

2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$;

3) $y = (\sqrt{x})^4$;

4) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}$;

5) $y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}$;

6) $y = (\sqrt{1-x})^2 + 1$;

7) $y = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{-x})^2 + 2$;

8) $y = (\sqrt{3-x})^2 + (\sqrt{x-1})^2 + x - 1$.

Решение.

1) $y = \sqrt{-x^2}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $-x^2 \ge 0$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $-x^2 \le 0$.

Следовательно, неравенство $-x^2 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $-x^2 = 0$, то есть при $x = 0$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x = 0$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$.

График функции состоит из одной точки с координатами $(0; 0)$.

Ответ: Графиком функции является точка $(0; 0)$.

2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$

Найдем ОДЗ: $-x^2 - 4x - 4 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 4x + 4 \le 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $(x + 2)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$, данное неравенство выполняется только при условии $(x + 2)^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственный корень $x = -2$.

Область определения функции состоит из одной точки $x = -2$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(-2) = \sqrt{-(-2)^2 - 4(-2) - 4} + 2 = \sqrt{-4 + 8 - 4} + 2 = \sqrt{0} + 2 = 2$.

График функции состоит из одной точки с координатами $(-2; 2)$.

Ответ: Графиком функции является точка $(-2; 2)$.

3) $y = (\sqrt{x})^4$

Найдем ОДЗ: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.

Упростим выражение: $y = (\sqrt{x})^4 = ((\sqrt{x})^2)^2 = x^2$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$.

Это правая ветвь параболы $y=x^2$, с вершиной в начале координат.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первой координатной четверти, с вершиной в точке $(0;0)$.

4) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}$

Найдем ОДЗ. Выражения под обоими корнями должны быть неотрицательными, поэтому решаем систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 0 \end{cases}$

Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x = 0$.

Область определения состоит из одной точки $x = 0$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = \sqrt{0} \cdot \sqrt{-0} = 0 \cdot 0 = 0$.

График функции состоит из одной точки с координатами $(0; 0)$.

Ответ: Графиком функции является точка $(0; 0)$.

5) $y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}$

Найдем ОДЗ: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$.

При $x \le 0$ преобразуем функцию: $y = (\sqrt{-x})^2 = -x$.

Следовательно, нужно построить график функции $y = -x$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

Это луч, выходящий из точки $(0; 0)$ и проходящий через точки $(-1; 1)$, $(-2; 2)$ и т.д.

Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $(0; 0)$, который является частью прямой $y=-x$ и расположен во второй координатной четверти.

6) $y = (\sqrt{1 - x})^2 + 1$

Найдем ОДЗ: $1 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 1$.

При $x \le 1$ упростим выражение: $y = (1 - x) + 1 = 2 - x$.

Нужно построить график функции $y = 2 - x$ при условии $x \le 1$.

Это луч прямой $y = -x + 2$. Найдем координаты его начальной точки, подставив $x = 1$: $y(1) = 2 - 1 = 1$.

Итак, график — это луч с началом в точке $(1; 1)$, проходящий, например, через точку $(0; 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч с началом в точке $(1; 1)$, проходящий через точку $(0; 2)$.

7) $y = (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{-x})^2 + 2$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 0 \end{cases}$

Единственное решение системы — $x = 0$.

Область определения состоит из одной точки $x = 0$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(0) = (\sqrt{0})^2 + (\sqrt{-0})^2 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2$.

График функции состоит из одной точки с координатами $(0; 2)$.

Ответ: Графиком функции является точка $(0; 2)$.

8) $y = (\sqrt{3 - x})^2 + (\sqrt{x - 1})^2 + x - 1$

Найдем ОДЗ из системы неравенств:

$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Решением системы является отрезок $[1; 3]$.

На этом отрезке оба подкоренных выражения неотрицательны, поэтому функцию можно упростить:

$y = (3 - x) + (x - 1) + x - 1 = 3 - x + x - 1 + x - 1 = x + 1$.

Нужно построить график функции $y = x + 1$ на отрезке $[1; 3]$.

Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов:

При $x = 1$, $y = 1 + 1 = 2$. Первая точка — $(1; 2)$.

При $x = 3$, $y = 3 + 1 = 4$. Вторая точка — $(3; 4)$.

Графиком является отрезок, соединяющий эти две точки.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x+1$ с концами в точках $(1; 2)$ и $(3; 4)$.