Номер 14.27, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.27, страница 118.

Условие.

14.27. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении x:

1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$;

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$?

Решение.

Чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Проверим это условие для каждого из предложенных выражений.

1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$

Данное выражение имеет смысл, если выполняется неравенство $x^2 + 8x + 15 \geq 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + 8x + 15$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$

Так как ветви параболы направлены вверх, она принимает отрицательные значения на интервале между корнями, то есть при $x \in (-5; -3)$. Например, при $x = -4$ значение подкоренного выражения будет $(-4)^2 + 8(-4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$, что меньше нуля.

Следовательно, это выражение имеет смысл не при любом значении $x$.

Ответ: выражение $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$ имеет смысл не при любом значении $x$.

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$

Данное выражение имеет смысл, если выполняется неравенство $x^2 - 10x + 27 \geq 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 10x + 27$. Это также парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1).

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8$.

Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 - 10x + 27 = 0$ не имеет действительных корней. Это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $x$, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение трехчлена $x^2 - 10x + 27$ всегда положительно при любом значении $x$.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$x^2 - 10x + 27 = (x^2 - 10x + 25) + 2 = (x-5)^2 + 2$.

Поскольку $(x-5)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-5)^2 \geq 0$), то $(x-5)^2 + 2 \geq 2$. Таким образом, подкоренное выражение всегда положительно.

Следовательно, это выражение имеет смысл при любом значении $x$.

Ответ: выражение $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$ имеет смысл при любом значении $x$.