Номер 14.26, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.26, страница 118.

Условие.

14.26. Докажите, что не существует такого значения $x$, при котором имеет смысл выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$.

Решение.

Для того чтобы выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть должно выполняться неравенство:

$-x^2 + 6x - 12 \ge 0$

Чтобы доказать, что не существует такого значения $x$, при котором данное выражение имеет смысл, мы должны показать, что указанное неравенство не имеет решений. Для этого проанализируем квадратичный трехчлен $y = -x^2 + 6x - 12$.

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Найдем координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$

Чтобы найти ординату вершины (и наибольшее значение функции), подставим $x_0 = 3$ в выражение:

$y_0 = -(3)^2 + 6 \cdot (3) - 12 = -9 + 18 - 12 = 9 - 12 = -3$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -3)$. Поскольку это точка максимума, наибольшее значение, которое может принимать выражение $-x^2 + 6x - 12$, равно $-3$.

Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-x^2 + 6x - 12 \le -3$

Так как подкоренное выражение всегда отрицательно, оно никогда не может быть больше или равно нулю. Следовательно, неравенство $-x^2 + 6x - 12 \ge 0$ не имеет решений.

Это доказывает, что выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$ не имеет смысла ни при каком значении $x$.

Ответ: Доказано, что не существует такого значения $x$, при котором выражение имеет смысл, так как подкоренное выражение $-x^2 + 6x - 12$ всегда отрицательно для любого действительного $x$.