Номер 14.30, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.30, страница 119.

Условие.

14.30. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x+1} > -2;$

2) $\sqrt{2x+1} \le 0;$

3) $\sqrt{2x+1} < -2;$

4) $\sqrt{x} > -\sqrt{x};$

5) $\sqrt{x} \ge -\sqrt{x};$

6) $\sqrt{x} \le -\sqrt{x}.$

Решение.

1) Решим неравенство $\sqrt{2x + 1} > -2$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x + 1 \ge 0$
$2x \ge -1$
$x \ge -1/2$
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{2x + 1}$ всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{2x + 1} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.
Поскольку любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа (в данном случае -2), неравенство $\sqrt{2x + 1} > -2$ выполняется для всех значений $x$, при которых оно определено.
Таким образом, решением неравенства является его область допустимых значений.
Ответ: $x \in [-1/2, +\infty)$

2) Решим неравенство $\sqrt{2x + 1} \le 0$.
Арифметический квадратный корень $\sqrt{2x + 1}$ по определению не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{2x + 1} \ge 0$.
Следовательно, неравенство $\sqrt{2x + 1} \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $\sqrt{2x + 1} = 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -1/2$
Ответ: $x = -1/2$

3) Решим неравенство $\sqrt{2x + 1} < -2$.
Левая часть неравенства, $\sqrt{2x + 1}$, по определению является неотрицательным числом (т.е. $\ge 0$) для всех допустимых значений $x$.
Правая часть неравенства является отрицательным числом (-2).
Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

4) Решим неравенство $\sqrt{x} > -\sqrt{x}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Перенесем слагаемое из правой части в левую:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} > 0$
$2\sqrt{x} > 0$
$\sqrt{x} > 0$
Возведем обе части в квадрат:
$x > 0$
Данное решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$

5) Решим неравенство $\sqrt{x} \ge -\sqrt{x}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Перенесем слагаемое из правой части в левую:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} \ge 0$
$2\sqrt{x} \ge 0$
$\sqrt{x} \ge 0$
По определению, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$

6) Решим неравенство $\sqrt{x} \le -\sqrt{x}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Перенесем слагаемое из правой части в левую:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} \le 0$
$2\sqrt{x} \le 0$
$\sqrt{x} \le 0$
Поскольку по определению $\sqrt{x} \ge 0$, то единственная возможность, при которой выполняется неравенство $\sqrt{x} \le 0$, — это равенство $\sqrt{x} = 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$x = 0$
Это значение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = 0$