Номер 14.33, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.33, страница 119.

Условие.

14.33. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x - 1 - x^2 - 1}$;

2) $y = (\sqrt{x})^2 + 3 - x$;

3) $y = (\sqrt{-x})^2 + 1$;

4) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$;

5) $y = x(\sqrt{x})^2$;

6) $y = (\sqrt{x+2})^2 - 1$.

Решение.

1) $y = \sqrt{2x - 1 - x^2} - 1$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x - 1 - x^2 \ge 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$x^2 - 2x + 1 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 1)^2 \le 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное решение этого неравенства — это равенство нулю:
$(x - 1)^2 = 0$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=1$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y(1) = \sqrt{2(1) - 1 - 1^2} - 1 = \sqrt{2 - 1 - 1} - 1 = \sqrt{0} - 1 = -1$
Графиком функции является единственная точка с координатами (1; -1).
Ответ: График функции — точка (1; -1).

2) $y = (\sqrt{x})^2 + 3 - x$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
На этой области $(\sqrt{x})^2 = x$. Упростим функцию:
$y = x + 3 - x = 3$
Таким образом, для всех $x \ge 0$ функция принимает значение $y = 3$.
Графиком является луч, выходящий из точки (0; 3) и идущий параллельно оси Ox вправо.
Ответ: График функции — луч, заданный уравнением $y=3$ при $x \ge 0$.

3) $y = (\sqrt{-x})^2 + 1$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$
Область определения: $D(y) = (-\infty; 0]$.
На этой области $(\sqrt{-x})^2 = -x$. Упростим функцию:
$y = -x + 1$
Графиком является часть прямой $y = -x + 1$, для которой $x \le 0$. Это луч с началом в точке (0; 1), проходящий через точку (-1; 2).
Ответ: График функции — луч, являющийся частью прямой $y = -x + 1$ при $x \le 0$.

4) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
На этой области $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$. Упростим функцию:
$y = x$
Графиком является часть прямой $y = x$ (биссектриса первого координатного угла), для которой $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат.
Ответ: График функции — луч, являющийся частью прямой $y = x$ при $x \ge 0$.

5) $y = x(\sqrt{x})^2$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$
Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
На этой области $(\sqrt{x})^2 = x$. Упростим функцию:
$y = x \cdot x = x^2$
Графиком является часть параболы $y = x^2$, для которой $x \ge 0$ (ее правая ветвь).
Ответ: График функции — правая ветвь параболы $y=x^2$.

6) $y = (\sqrt{x+2})^2 - 1$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$
Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.
На этой области $(\sqrt{x+2})^2 = x+2$. Упростим функцию:
$y = (x + 2) - 1 = x + 1$
Графиком является часть прямой $y = x + 1$, для которой $x \ge -2$. Это луч с началом в точке (-2; -1).
Ответ: График функции — луч, являющийся частью прямой $y = x + 1$ при $x \ge -2$.